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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit [mm] z^4=-16 [/mm] in der Form x+iy mit [mm] x,y\in\IR. [/mm] |
Ich bin was komplexe Zahlen angeht leider nicht so bewandert. Wir haben zu dieser Aufgabe eine Musterlösung bekommen, jedoch kann ich sie nicht nachvollziehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kann mir jemand erklären, wie die Lösung zu stande kommt ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Hellsing,
> Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit [mm]z^4=-16[/mm] in der
> Form x+iy mit [mm]x,y\in\IR.[/mm]
>
> Ich bin was komplexe Zahlen angeht leider nicht so
> bewandert.
Was heißt das? Ich nehme an, dass die Übungsaufgabe ungefähr dem Stand entspricht, den Du haben solltest.
> Wir haben zu dieser Aufgabe eine Musterlösung
> bekommen, jedoch kann ich sie nicht nachvollziehen.
Hm. Die Exponentialform komplexer Zahlen kennst Du aber, oder?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Kann mir jemand erklären, wie die Lösung zu stande kommt
> ?
Das ganze Geheimnis heißt  Moivre-Formel.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:05 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z mit [mm]z^4=-16[/mm] in der
> Form x+iy mit [mm]x,y\in\IR.[/mm]
>
> Ich bin was komplexe Zahlen angeht leider nicht so
> bewandert. Wir haben zu dieser Aufgabe eine Musterlösung
> bekommen, jedoch kann ich sie nicht nachvollziehen.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Kann mir jemand erklären, wie die Lösung zu stande kommt
> ?
ich find' die Lösung so nicht gut - man kann das ein wenig übersichtlicher
gestalten. Wobei das nicht heißt, dass die Lösung extrem kompliziert sei, dass
da etwas falsch oder umständlich sei. Ich finde es nur übersichtlicher, wenn
man es so angeht, wie ich es im Folgenden mache! (Hilfreich ist es
sicherlich, zu wissen: Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\,\sin(x)\,.$ [/mm] Und mach' Dir klar,
dass die Abbildung
$$f [mm] \colon [0,2\pi) \to \{z \in \IC:\;\;|z|=1\}$$
[/mm]
mit
[mm] $$f(x):=e^{ix}\;\;\;\;\;\;(\;x \in [0,2\pi)\;)$$
[/mm]
bijektiv (und auch "wohldefiniert") ist ("wohldefiniert" meine ich hier in dem
Sinne, dass Du Dir klarmachst, dass für jedes $x [mm] \in [0,2\pi)$ [/mm] auch [mm] $|e^{ix}|=1$
[/mm]
ist - das kannst Du auch für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] beweisen!)
Aber selbst das braucht man noch nicht in der Art und Weise hier. Ich zeige
Dir im Folgenden auch, warum.)
Es gilt nämlich:
[mm] $$z^4=-16$$
[/mm]
[mm] $$\iff (z/2)^4=-1\,.$$
[/mm]
Bestimme nun mal alle komplexen Zahlen [mm] $w=w_1+i\,w_2$ ($w_1,\;w_2 \in \IR$)
[/mm]
mit [mm] $w^2=-1\,.$ [/mm] Derer gibt es genau vier an der Zahl.
Damit bist Du dann schnell (und sogar nur mit elementarsten Überlegungen)
fertig.
Hinweis:
[mm] $$(w_1+i\,w_2)^2=-1$$
[/mm]
[mm] $$\iff ({w_1}^2-{w_2}^2+1)+i\,(2\,w_1\,w_2)=0\,$$
[/mm]
und eine komplexe Zahl ist genau dann Null, wenn sowohl ihr Realteil als auch
ihr Imaginärteil Null ist. Damit bekommst Du nun ein Gleichungssystem in [mm] $w_1,\,w_2\,,$
[/mm]
mit zwei Gleichungen, dessen Lösungsmenge Du bestimmen musst, und damit
kommst Du dann weiter. (Du siehst: Ich benutze hier das Wissen aus dem
blaumarkierten Teil gar nicht - Du findest ![[]](/images/popup.gif) auf Seite 69 ff., hier (klick!)
etwas zu dem obenstehenden. Und beachte: Ist $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $z [mm] \not=0\,,$
[/mm]
so ist [mm] $\frac{z}{|z|} \in \IC$ [/mm] eine komplexe Zahl, deren Betrag wegen
[mm] $$\left|\frac{z}{|z|}\right|=\frac{|z|}{|\;\,|z|\,\;|}=\frac{|z|}{|z|}=1$$
[/mm]
eben [mm] $1\,$ [/mm] ist. Dann gibt es also (genau) eine Zahl in [mm] $\phi \in [0,2\pi)$ [/mm] mit
[mm] $$e^{i\,\phi}=z/|z|\,.$$
[/mm]
Solche (einfachen) Überlegungen liegen dem ganzen zu Grunde. Und wenn
Du [mm] $\IC$ [/mm] mit [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizierst und jetzt die Gleichheit [mm] "$e^{i\,\phi}=\cos(x)+i\,\sin(x)$"
[/mm]
"einfach erstmal glaubst", dann kannst Du Dir schonmal schnell geometrisch
klarmachen, was dann die Abbildung
[mm] $$[0,2\pi) \ni \phi \mapsto e^{i\,\phi}=\cos(\phi)+i\,\sin(\phi)\hat=(\cos(\phi),\;\sin(\phi))$$
[/mm]
geometrisch beschreibt... (und Du wüßtest auch, was passieren sollte, wenn
man bei dieser Abbildung [mm] "$[0,2\pi)$ [/mm] ausdehnt")).
P.S. Oder sagen wir mal: Die Lösung oben ist schon sehr knapp aufgeschrieben,
da steht ja nur ansatzweise, was gerechnet worden ist bei [mm] $z_1\,,$ [/mm] und bei
dem Rest wird Wissen verwendet, auf das nicht verwiesen wird. Vielleicht
sagt Dir aber auch das Stichwort "n-te Einheitswurzel" (in [mm] $\IC$) [/mm] etwas. Denn wenn
man die verstanden hat, und sich ein wenig im Einheitskreis (des [mm] $\IR^2$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$)
[/mm]
auskennt, braucht man da auch nicht mehr wirklich viel rechnen. Wobei man
die Aufgabe auch komplett rechnerisch lösen kann - genau das wirst Du
eigentlich tun, wenn Du meinen Lösungsweg zu Ende rechnest. Und das mit
Mitteln, die Du sogar "nur" aus der Schule zur Verfügung hast! (Alles, was
"nicht Schule" ist, habe ich ja oben schon hingeschrieben, wie das zu
behandeln ist!)
P.P.S. Bei der (von Dir geposteten) Lösung oben wird übrigens auch
[mm] $$z=|z|*e^{i \phi}$$
[/mm]
mit einem (geeigneten) [mm] $\phi \in \IR$ [/mm] benutzt - dieses ist eindeutig bis auf einen
Summanden aus [mm] $2\pi*\IZ\,$ [/mm] - und wenn man [mm] $\phi \in [0,2\pi)$ [/mm] fordert, so ist es
sogar eindeutig. Du kannst es in Abhängigkeit von [mm] $\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $\text{Im}(z)$
[/mm]
angeben...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hellsing,
nebenbei: hier (klick!) hat jemand Links zu Seiten, die sich mi komplexen Zahlen
beschäftigen, gesammelt. Ich denke,dass jedenfalls der erste schon für Dich
interessant ist (in dem von mir verlinkten Skript wird übrigens [mm] $\cos(x)\,$ [/mm] als
Realteil von [mm] $e^{ix}$ [/mm] definiert, und [mm] $\sin(x)\,$ [/mm] als Imaginärteil von [mm] $e^{ix}\,.$ [/mm] Da ist dann
"nichts Magisches" dabei, dass dann [mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\,\sin(x)$ [/mm] gilt...)
P.S. Beachte, dass manche Autoren die imaginäre Einheit nicht mit [mm] $i\,,$ [/mm] sondern [mm] $j\,$ [/mm]
bezeichnen (in der Physik scheint das gängig(er)).
Gruß,
Marcel
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