Komplexe Zahlen - Moivre + Bsp < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Ich suche keine konkreten Lösungen sondern eher nach Beispielen. Es geht um Komplexe Zahlen und das lösen von folgenden Aufgaben:
[mm] (1+i)^8
[/mm]
1^(2/3)
Ich weiß das sich dies über die Moivre-Formel berechnen lässt, nur fehlt mir ein konkretes Beispiel das Schritt für Schritt vorgeht. WURde hier sowas schon eine solche Aufgabe gelößt oder kennt einer eine Seite, wo ein solches Beispiel vorgerechnet wird? WÄre danke für eure Links.
Ich schreibe am Montag eine Prüfungen, um den Bereich etwas einzugrenzen hat er "Wurzeln komplexer Zahlen" als Tipp genannt. SInd das Aufgabe die er sich darunter vorstellt oder sind das andere Aufgabentypen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für eure Tipps
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> Ich suche keine konkreten Lösungen sondern eher nach
> Beispielen. Es geht um Komplexe Zahlen und das lösen von
> folgenden Aufgaben:
> [mm](1+i)^8[/mm]
Mit "Aufgabe" meinst Du, dass dieser Term mit Hilfe von De Moivre (Polardarstellung) vereinfacht werden soll? Etwa so:
[mm]\begin{array}{rcl}
(1+i)^8 &=& \left(\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^8\\
&=& \sqrt{2}^8\cdot e^{i \frac{\pi}{4}\cdot 8}\\
&=& 16\cdot e^{i 2\pi}\\
&=& 16
\end{array}[/mm]
> 1^(2/3)
Diesem Term lässt sich kein eindeutiger Wert zuordnen. Zum Beispiel gibt es ja für [mm]n\in \IN[/mm] n verschiedene Lösungen der Gleichung [mm]z^n=1[/mm] (nämlich die Zahlen [mm]z_k := e^{i\frac{2k\pi}{n}}[/mm], für [mm]k=0,1,\ldots, n-1[/mm]), d.h. dem Term [mm]\sqrt[n]{1}[/mm] könnten [mm]n[/mm] verschiedene Werte zugeordnet werden, die alle die Eigenschaft haben, Lösung der Gleichung [mm]z^n=1[/mm] zu sein. Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist also ein gutes Stück komplizierter als die Berechnung von ganzzahligen Potenzen komplexer Zahlen.
> Ich weiß das sich dies über die Moivre-Formel berechnen
> lässt, nur fehlt mir ein konkretes Beispiel das Schritt für
> Schritt vorgeht. WURde hier sowas schon eine solche Aufgabe
> gelößt oder kennt einer eine Seite, wo ein solches Beispiel
> vorgerechnet wird? WÄre danke für eure Links.
>
> Ich schreibe am Montag eine Prüfungen, um den Bereich etwas
> einzugrenzen hat er "Wurzeln komplexer Zahlen" als Tipp
> genannt.
> Sind das Aufgabe die er sich darunter vorstellt
> oder sind das andere Aufgabentypen?
Dein Lehrer hat doch sicher im Unterricht unter diesem Titel etwas relativ Spezifisches abgehandelt. Siehe also dort.
|
|
|
| |
|
Das mit der Moivre-Formel verstehe ich nun einigermaßen, hätte trotzdem noch Fragen.
Du hast im letzten Schritt exp(i*2*Pi) zu 1 umgewandelt, wie kommt das? Wieso darf man das machen?
Ich habe mal irgendwo gelesen, das bei n-Potenzen es n-Lösung gibt, hat jemand dazu vielleicht eine Beispielaufgabe da und wie erhält man dann die einzelnen Lösungen?
Sry bei der zweiten Aufgabe habe ich mich vertippt, die Aufgabe lautete i^(2/3). Da sollte man alle komplexen Lösungen finden. Da habe ich leider keinen konkreten Ansatz. Weiß auch nicht wie man hier die Moivre-Formal anwenden soll. r kann man ja noch berechnen, aber bei alpha geht das ja nicht mehr.
Mein Prof hat folgende Gleichungen angegeben und gelößt:
z1:=exp(1*i*Pi/3);
z2:=exp(5*i*Pi/3);
z3:=exp(9*I*Pi/3);
Wie Kommt er auf diese Gleichungen?
Was er sich unter Wurzeln komplexer Zahlen vorgestellt hat weß ich nicht, da ich diese Vorlesungen nicht besucht habe, ich schau aber mal in seinen Übungsblättern nach.
|
|
|
| |
|
Hallo ThorinVII!
> Du hast im letzten Schritt exp(i*2*Pi) zu 1 umgewandelt,
> wie kommt das? Wieso darf man das machen?
Nur gerade zu dieser Frage: diese Eigenschaft sollte man sich auf jeden Fall merken - also [mm] e^{2\pi i}=1. [/mm] Erklären kannst du es dir so:
[mm] e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) [/mm] - diese Formel kennst du hoffentlich?
Dann gilt:
[mm] e^{2\pi i}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1+i*0=1 [/mm] 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Do 05.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. den Winkel in [mm] z=a+ib=r*e^{î\phi}
[/mm]
findet man, aus [mm] tan\phi=b/a
[/mm]
für i ist das wegen a=0 blöd, aber für [mm] \pi/2 [/mm] ist [mm] tan\phi=\infty [/mm] also geht das auch. einfacher ist es bei so einfachen Zahlen, indem man sie als Pfeil in der komplexen Ebene darstellt, und den Winkel zur reellen0x-Achse direkt sieht. für i also 90° [mm] d.h.\pi/2
[/mm]
2. du solltest dir ansehen, was passiert, wenn du 2 komplexe Zahlen multiplizierst. zeichne die Zahlen und ihr Produkt: du siehst hoffentlich, dass das Produkt die Summe der Winkel der einzelnen Zahlen hat. d,h, Quadrieren verdoppelt den Winkel, hoch 3 verdreifacht den Winkel usw.
Die Längen(=Beträge) werden einfach multipliziert.
Wenn du jetzt Wurzeln ziehst, musst du den Winkel entsprechend teilen, bei der 5ten Wurzel also durch 5. jetzt gehört aber zu einem Winkel [mm] \phi, [/mm] genauso auch der Winkel [mm] 2\pi+\phi, 4\pi+\phi, 6\pi+\phi [/mm] und [mm] 8\pi+\phi. [/mm] die musst du alle durch 5 teilen, dann hast du die Richtung aller 5 Wurzeln, die Länge ziehst du einfach die 5te Wurzel. (es kommt atürlich aufs selbe raus, wenn du zu [mm] \phi/5 [/mm] nacheinander immer wieder [mm] 2\pi/5 [/mm] addierst, bis du wieder bei [mm] +2\pi [/mm] also dem Anfang ankommst.
genauso machst dus mit der n-ten Wurzel, nur musst du da bis zu [mm] (n-1)*2\pi+\phi [/mm] gehen.
am besten machst du das mal zeichnerisch und rechnerisch!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Das mit der Moivre-Formel verstehe ich nun einigermaßen,
> hätte trotzdem noch Fragen.
> Du hast im letzten Schritt exp(i*2*Pi) zu 1 umgewandelt,
> wie kommt das? Wieso darf man das machen?
Hm, also [mm]e^{i\cdot \varphi}[/mm] ist für [mm]\varphi\in\IR[/mm] immer ein ganz bestimmter Punkt auf dem Einheitskreis in der [mm]\IC[/mm] Ebene. Dabei ist [mm]\varphi[/mm] nichts anderes als der Winkel, unter dem dieser Punkt von [mm]0[/mm] aus gesehen wird im Bogenmass (also der Länge des entsprechenden Bogens auf dem Einheitskreis). Allgemein ist daher [mm]e^{i\cdot 2k\pi}=1[/mm], für alle [mm]k\in \IZ[/mm]: denn [mm]2k\pi[/mm] ist ja ein ganzahliges Vielfaches des vollen Winkels (entspricht [mm]360^\circ[/mm]).
> Ich habe mal irgendwo gelesen, das bei n-Potenzen es
> n-Lösung gibt, hat jemand dazu vielleicht eine
> Beispielaufgabe da und wie erhält man dann die einzelnen
> Lösungen?
Das Vorgehen ist im wesentlichen das selbe wie bei der Berechung von [mm]i^{\frac{2}{3}}[/mm]. Also schauen wir doch besser gleich diesen Fall an. (siehe unten)
> Sry bei der zweiten Aufgabe habe ich mich vertippt, die
> Aufgabe lautete i^(2/3). Da sollte man alle komplexen
> Lösungen finden. Da habe ich leider keinen konkreten
> Ansatz.
Zuerst stellen wir [mm]i[/mm] in der Form [mm]r\cdot e^{i\varphi}[/mm] dar. Dabei müssen wir nun aber berücksichtigen, dass zu einem solchen [mm]\varphi[/mm] ein beliebiger Winkel der Form [mm]2k\pi[/mm], mit [mm]k\in\IZ[/mm], dazugegeben werden kann.
Zunächst ist doch sicher [mm]i=1\cdot e^{i\frac{\pi}{2}}[/mm] (betrachte die Lage von [mm]i[/mm] auf dem Einheitskreis und den Winkel unter dem [mm]i[/mm] von 0 aus bezüglich der positiven Richtung der reellen Achse gesehen wird).
Nun können wir aber, wie erwähnt, noch ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von [mm]2\pi[/mm] dazugeben. Dann erhalten wir als allgemeinste Polardarstellung von [mm]i[/mm]:
[mm]i=1\cdot e^{i\frac{\pi}{2}+2k\pi} = 1\cdot e^{i\frac{4k+1}{2}\pi}[/mm], für alle [mm]k\in\IZ[/mm].
Nun sind wir soweit, die gewünschten komplexen Zahlen [mm]i^{\frac{2}{3}}[/mm] zu berechnen, indem wir nämlich die Basis [mm]i[/mm] durch [mm]1\cdot e^{i\frac{4k+1}{2}\pi}[/mm] ersetzen:
[mm]\begin{array}{rcl}
i^{\frac{2}{3}} &=& \left(1\cdot e^{i\frac{4k+1}{2}\pi}\right)^{\frac{2}{3}}\\
&=& 1^{\frac{2}{3}}\cdot e^{i\frac{4k+1}{2}\pi \cdot \frac{2}{3}}\\
&=& 1^{\frac{2}{3}}\cdot e^{i\frac{4k+1}{3}\pi}\\
&=& 1\cdot e^{i\frac{4k+1}{3}\pi}
\end{array}[/mm]
Dabei kann aber, wie gesagt, [mm]k\in\IZ[/mm] beliebig gewählt werden.
Sicher fällt Dir auch auf, dass ich [mm]1^{\frac{2}{3}}[/mm] kurzerhand mit [mm]1[/mm] gleich gesetzt habe: die Potenz des Betrages wird einfach als Potenz einer reellen Zahl behandelt.
Nun gibt es aber nicht beliebig viele verschiedene Zahlen der Form [mm]1\cdot e^{i\frac{4k+1}{3}\pi}[/mm] mit [mm]k\in\IZ[/mm]. Die verbleibende Arbeit besteht nun darin, herauszufinden, welche wesentlich verschiedenen Möglichkeiten sich so ergeben. Für [mm]k=0,1,2[/mm] erhältst Du der Reihe nach die untenstehenden Lösungen, die Dir Dein Professor angegeben hat.
> Weiß auch nicht wie man hier die Moivre-Formal
> anwenden soll. r kann man ja noch berechnen, aber bei alpha
> geht das ja nicht mehr.
> Mein Prof hat folgende Gleichungen angegeben und gelößt:
> z1:=exp(1*i*Pi/3);
> z2:=exp(5*i*Pi/3);
> z3:=exp(9*I*Pi/3);
>
> Wie Kommt er auf diese Gleichungen?
>
>
> Was er sich unter Wurzeln komplexer Zahlen vorgestellt hat
> weß ich nicht, da ich diese Vorlesungen nicht besucht habe,
> ich schau aber mal in seinen Übungsblättern nach.
|
|
|
| |
|
Hey sehr schön erklärt, das hat mir sehr weitergeholfen. Danke. Habe daraufhin auch eine Frage, habe hier eine Formelsammlung von meinem Prof und es kann sein das sich dort ein kleiner Fehler eingeschlichen hat [Dateianhang nicht öffentlich].
Am ende bei (2*k*Pi)/q fehlt da nicht ein p im Nenner? Der Fehler hat sich beim Potenzieren eingeschlichen, wenn ich das richtig sehe?
Wenn die Formel doch richtig ist, dann müsste es bei deiner Lösung eine 2 im Exponenten sein und keine 4 oder?
Nun habe ich noch eine etwas andere Frage zu den komplexen Zahlen. Darf man die kartesische Form und die Polarform einfach gleichsetzen?
Ich habe z.B. z1 was in der kartesischen Form ist und z2 was in der Polarform ist, darf man dann einfach z1=z2 setzen? Oder muss eines der beiden erst in die andere Form umgewandelt werden?
Nun noch eine Frage zu einer Aufgabe an der ich gerade rechne. Es soll nach z aufgelößt werden.
[mm] (2+2*\wurzel{3}*i)z=8*x^{i\pi}
[/mm]
Hier habe ich erstmal das [mm] 8*x^{i\pi} [/mm] in die kartesische Form umgewandelt und erhielt -8. Wie kann man aber nun weiter verfahren?
Noch eine kleine andere Aufgabe:
Wenn ich folgene Gleichung habe:
[mm] z^2 [/mm] = i
Ist die Lösung dann einfach: z = [mm] \wurzel{i} [/mm] ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur 1. Frage k gibt ein beliebiges Vielfachesvon [mm] 2\pi
[/mm]
also ist es egal ob man [mm] k*p*\2\pi [/mm] schreibt oder [mm] k*\2\pi. [/mm] zur 2. Frage: egal wie man die komplexen Zahlen schreibt, wenn sie gleich sind setzt man natürlich das Gleichzeichen.
3. mit [mm] z=\wurzel{i} [/mm] ist man nicht fertig. man muss das wieder als Komplexe Zahl ausdrücken, also als
[mm] \wurzel{i}=\pm e^{i*\pi/4} [/mm] oder
[mm] \wurzel{i}=\pm 1/2\wurzel{2}(1+i)
[/mm]
4. wenn das e statt x heisst ist die -8 richtig.
jetzt musst du um z zu kriegen durch [mm] 2+i*2\wurzel{3} [/mm] teilen. da kannst du entweder wieder in e hoch verwandeln, oder nach dem Teilen den entstandenen Bruch mit dem konjugiert kompl also [mm] 2-i*2\wurzel{3} [/mm] erweitern, dann wird der Nenner reell und du hast wieder ne normale komplexe Zahl.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Habe noch eine Frage zu der Lösung von [mm] z=\wurzel{i}:
[/mm]
Bei [mm] \wurzel{i}=\pm e^{i\cdot{}\pi/4} [/mm] wieso kommt im Exponenten kein [mm] +2k\pi [/mm] rein? Ich dachte das müsste man bei ungeraden Exponenten immer machen, wenn man in die Polarform umrechnet oder gilt dies bei 1/x nicht? (Siehe Formel die ich in meinem Post angehangen habe.
Habe noch eine Frage zu dieser Lösung: [mm] \wurzel{i}=\pm 1/2\wurzel{2}(1+i)
[/mm]
Ich schätze mal du hast in das ganze in die Kosinus und Sinus Form umgerechnet und dann das x und y gebildet? [mm] Sinus(\pi/4) [/mm] ist gleich [mm] 1/2*\wurzel{2}. [/mm] Siehst du sowas einfach schon oder hast du da einen "Trick"?
Danke für den Tipp bei der anderen Aufgabe, hätte ich eigentlich sehen müssen :/ Als LÖSUng erielt ich:
[mm] z=-1-\wurzel{3}i
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Habe noch eine Frage zu der Lösung von [mm]z=\wurzel{i}:[/mm]
> Bei [mm]\wurzel{i}=\pm e^{i\cdot{}\pi/4}[/mm] wieso kommt im
> Exponenten kein [mm]+2k\pi[/mm] rein?
"Im Prinzip ja", aber das geht ins [mm]\pm[/mm] rein. Im Detail:
[mm]\begin{array}{rcl}
\sqrt{i} &=& \big(e^{i\frac{\pi}{2}+i 2k\pi}\big)^{\frac{1}{2}}, k\in \IZ\\
&=& e^{i\frac{\pi}{4}+i k\pi}\\
&=& \pm e^{i\frac{\pi}{4}}
\end{array}
[/mm]
Weil Einsetzen von [mm] $k\in\IZ$ [/mm] eben nur diese zwei Fälle gibt: [mm] $e^{i\frac{\pi}{4}}$, [/mm] falls $k$ gerade bzw. [mm] $-e^{i\frac{\pi}{4}}$, [/mm] falls $k$ ungerade ist.
> Ich dachte das müsste man bei
> ungeraden Exponenten immer machen, wenn man in die
> Polarform umrechnet oder gilt dies bei 1/x nicht? (Siehe
> Formel die ich in meinem Post angehangen habe.
>
> Habe noch eine Frage zu dieser Lösung: [mm]\wurzel{i}=\pm 1/2\wurzel{2}(1+i)[/mm]
>
> Ich schätze mal du hast in das ganze in die Kosinus und
> Sinus Form umgerechnet und dann das x und y gebildet?
Es ist ja allgemein:
[mm]\red{e^{i\varphi} = \cos(\varphi)+i \sin(\varphi)}[/mm]
Diese Beziehung brauchst Du immer, wenn Du von der Polardarstellung auf die kartesische Darstellung $x+i y$ zurück willst.
> [mm]Sinus(\pi/4)[/mm] ist gleich [mm]1/2*\wurzel{2}.[/mm] Siehst du sowas
> einfach schon oder hast du da einen "Trick"?
Ist reine Routine und zwar so:
[mm]\begin{array}{rcl}
e^{i\frac{\pi}{4}} &=& \cos\big(\frac{\pi}{4}\big) + i \sin\big(\frac{\pi}{4}\big)\\
&=& \frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}\\
&=& \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (1+i)
\end{array}[/mm]
>
> Danke für den Tipp bei der anderen Aufgabe, hätte ich
> eigentlich sehen müssen :/ Als LÖSUng erielt ich:
> [mm]z=-1-\wurzel{3}i[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Fr 06.07.2007 | | Autor: | ThorinVII |
Ah ok. Vielen Dank euch allen für eure Hilfen und Mühen. Komplexe Zahlen sollten nun einigermaßen sitzen bei mir. Nun wende ich mir mal noch den anderen Themen zu, da hapert es teilweise leider noch etwas :/ Hoffe das WE reicht noch um mich fit zu machen für die Prüfung am Montag.
Vielleicht kann mir ja wer bei Fourierreiehen noch weiterhelfen, das ist momentan meine größte Sorge: https://matheraum.de/read?i=280784
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich selbst rechne das nicht mit sin und cos, [mm] \wurzel{i} [/mm] muss auf der 45° Linie liegen, also a(1+i) und da 1+i die Lange [mm] \wurzel{2} [/mm] hat, muss ich [mm] a=1/\wurzel{2} [/mm] nehmen.
bei vielen Wurzeln ist man mit "zeichnen" schneller als mit rechnen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hey sehr schön erklärt, das hat mir sehr weitergeholfen.
> Danke. Habe daraufhin auch eine Frage, habe hier eine
> Formelsammlung von meinem Prof und es kann sein das sich
> dort ein kleiner Fehler eingeschlichen hat
> [Dateianhang nicht öffentlich].
>
> Am ende bei (2*k*Pi)/q fehlt da nicht ein p im Nenner? Der
> Fehler hat sich beim Potenzieren eingeschlichen, wenn ich
> das richtig sehe?
> Wenn die Formel doch richtig ist, dann müsste es bei deiner
> Lösung eine 2 im Exponenten sein und keine 4 oder?
Zusätzlich zur Antwort von leduart möchte ich anmerken, dass die Form, die Dein Professor verwendet hat, nur deshalb dieselbe Menge komplexer Zahlen liefert wie meine (in jedem Falle richtige) Form, weil er annimmt (und wohl annehmen durfte), dass $p$ und $q$ zueinander teilerfremde ganze Zahlen sind, d.h. dass der Bruch [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] gekürzt war. In diesem Falle liefern beide Lösungsmengen genau dieselben $q$ verschiedenen komplexen Zahlen, deren spezielle Darstellung sich aber eventuell um einen (irrelevanten Faktor) [mm] $e^{i2n\pi}, n\in \IZ$ [/mm] unterscheiden mag.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Do 05.07.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo ThorinVII,
3. Aufgabe
Beweise, dass
1. (1 + [mm] i)^2 [/mm] = 2i
2. (1 + [mm] i)^3 [/mm] = - 2(1 - i)
3. (1 + [mm] i)^4 [/mm] = - 4
ist.
Lösung
1. (1 + [mm] i)^2 [/mm] = 1 + 2i + [mm] i^2 [/mm] = 1 + 2i - 1 = 2i
2. (1 + [mm] i)^3 [/mm] = 1 + 3i + [mm] 3i^2 [/mm] + [mm] i^3 [/mm] = 1 + 3i - 3 - i = - 2 + 2i
3. (1 + [mm] i)^4 [/mm] = 1 + 4i + [mm] 6i^2 [/mm] + [mm] 4i^3 [/mm] + [mm] i^4 [/mm] = 1 - 6 + 1 = - 4
Wegen [mm] i^2 [/mm] = -1 haben wir Eigenschaften, die recht seltsam erscheinen, wie z.B. [mm] i^5 [/mm] = i
sieh dir hierzu folgende ![[]](/images/popup.gif) Seite an:
Viele Grüße
Josef
|
|
|
|
