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| Aufgabe | | Bestimmen sie zwei komplexe Zahlen z1,z2, die die Gleichung [mm] z^2= [/mm] 1+2i erfüllen! |
Hallo!
Habe die Frage gelöst indem ich z= x+yi gesetzt , das quadriert habe und letztendlich die binomische Formel angewendet habe, weil ich dastehen hat:
[mm] x^2-xy-y^2=0
[/mm]
so dass ich ein
x1= [mm] ((y+y\wurzel{5}) [/mm] / 2) herausbekommen habe und noch ein x2, wo ich statt dem + ein - dastehen hab.
Kann mir jemand sagen ob das so richtig ist?!
Und die beiden x hab ich dann in x*y=1 eingesetzt und so für y1 = [mm] \wurzel{2/(1-\wurzel{5})}
[/mm]
Vielen dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie zwei komplexe Zahlen z1,z2, die die Gleichung
> [mm]z^2=[/mm] 1+2i erfüllen!
> Hallo!
>
> Habe die Frage gelöst indem ich z= x+yi gesetzt , das
> quadriert habe und letztendlich die binomische Formel
> angewendet habe, weil ich dastehen hat:
>
> [mm]x^2-xy-y^2=0[/mm]
Falsch ! Wie kommst Du auf diese Gleichung ?
[mm] z^2 [/mm] = [mm] (x+iy)^2 [/mm] = [mm] x^2 -y^2 [/mm] +i(2xy) = 1+2i.
Es folgt: [mm] x^2-y^2 [/mm] = 1 und xy = 1
FRED
>
> so dass ich ein
> x1= [mm]((y+y\wurzel{5})[/mm] / 2) herausbekommen habe und noch ein
> x2, wo ich statt dem + ein - dastehen hab.
> Kann mir jemand sagen ob das so richtig ist?!
> Und die beiden x hab ich dann in x*y=1 eingesetzt und so
> für y1 = [mm]\wurzel{2/(1-\wurzel{5})}[/mm]
>
> Vielen dank für eure Hilfe!
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naja dadurch dass ich die beiden gleichungen habe und beide =1 sind kann ich doch schreiben:
[mm] x^2-y^2 [/mm] = xy da ja xy auch =1 ist!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> naja dadurch dass ich die beiden gleichungen habe und beide
> =1 sind kann ich doch schreiben:
> [mm]x^2-y^2[/mm] = xy da ja xy auch =1 ist!!
Pardon, da hast Du natürlich recht. Da hab ich nicht aufgepasst.
Das obige "falsch" nehm ich zurück
FRED
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und können sie mir sagen ob die Aufgabe dann so stimmt, weil ich leider nicht weiß ob das richtig ist, wie ich das gemacht habe!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Di 18.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jana!
> und können sie mir sagen ob die Aufgabe dann so stimmt,
> weil ich leider nicht weiß ob das richtig ist, wie ich das
> gemacht habe!?
Du kannst das so machen, aber du musst aufpassen, dass du nur reelle Werte von x und y zulässt.
In deiner Rechnung sind x und y ja Real- und Imaginärteil der gesuchten komplexen Zahl, also beides reelle Zahlen. Das [mm] $y_1=\wurzel{2/(1-\wurzel{5})} [/mm] $ ist aber die Wurzel aus einer negativen Zahl und damit nicht reell. Oder hast du dich nur vertippt und wolltest eigentlich
[mm] $y_1=\red{+}\wurzel{2/(1\red{+}\wurzel{5})} [/mm] $
schreiben? Das wäre nämlich richtig.
Viele Grüße
Rainer
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Also:
ich habe zwei Werte für x und zwei für y herausbekommen.nämlich:
x1=(y+y* [mm] \wurzel{5}) [/mm] / 2
x2=(y - y* [mm] \wurzel{5}) [/mm] / 2
und dann jeweils x1 und x2 in x*y=1 eingesetzt und somit die Werte
[mm] y1=\wurzel{2/(1+\wurzel{5})}
[/mm]
y2= [mm] \wurzel{2/(1-\wurzel{5})}
[/mm]
herausbekommen?
Ich soll ja aber die Zahlen z1 und z2 bestimmen,...muss ich dann einfach schreiben:
z1=(y+y* [mm] \wurzel{5}) [/mm] / 2 + [mm] \wurzel{2/(1+\wurzel{5})} [/mm] * i
oder wie muss ich z dann schreiben?
Und außerdem habe ich ja im x1 und x2 das y mit dabei...ist das so möglich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Di 18.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst in deinem Ergebnis nicht noch y stehen haben.
Schneller zum Ziel waerst du wohl gekommen, wenn du in [mm] x^2-y^2=1 [/mm] y=1/x eingesetzt haettest.
jetzt muss du noch x als Zahl ausrechnen. dabei merkst du dass nicht alle deine Loesungen moeglich sind.
Gruss leduart
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wenn ich so x ausrechne hab ich dann dastehen:
[mm] x^2- [/mm] x^-2 = 1
wie soll ich denn da auf die x Lösungen kommen!
Irgendwie ist das nicht so verständlich für mich!!
Kann mir jemand helfen??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Mi 19.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] x²-\bruch{1}{x²}=1
[/mm]
[mm] \gdw x²-1-\bruch{1}{x²}=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{4}-x²-1=0
[/mm]
Und jetzt substituiere mal x²=r
Also:
[mm] r^{2}-r+1=0
[/mm]
[mm] \gdw r_{1;2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+1}
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Marius
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okay, dann hab ich ja damit auch mein x1 und x2 und kann es in y einsetzen so dass ich jetz meine beiden x und y werte habe!
nur wie bekomme ich nun daraus die komplexe Zahl hin?
Zauber ich mir einfach ein i dazu;)??
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:04 Mi 19.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Falls irgendein Term unter der Wurzel negativ werden solllte, entsteht ein i.
Also:
[mm] \wurzel{-4}=\wurzel{(-1)*4}=\wurzel{-1}*\wurzel{4}=i*2=2i
[/mm]
Marius
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und wenn kein i entsteht...ist es dann trotzdem eine komplexe zahl?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jana!
Dann ist es eine reelle Zahl. Aber da [mm] $\IR$ [/mm] eine Untermenge von [mm] $\IC$ [/mm] ist, handelt es sich dennoch weiterhin um eine komplexe Zahl.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:03 Mi 19.11.2008 | | Autor: | leduart |
siehe meine andere Korrektur
leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mi 19.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo jana
Du hast vor lauter rechnen Den Anfang vergessen!
x und y sind reell
und du hattest angesetzt z=x+iy
das heist das x1,y1 ist deine erste Loesung mit z1=x1+iy1
entsprechend z2
Das mit der Wurzel aus -1 fuer x oder y war falsch! die 2 muessen nach Vors reelle Zahlen sein.
Schneller geht die Loesung allerdings, wenn du 1+2i oder was die Zahl war als [mm] r*e^{i\phi} [/mm] schreibst und dann direkt die Wurzel ziehst.
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:02 Mi 19.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hier ist die Antwort falsch, da x und y reelle Zahlen sein muessen
Gruss leduart
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