Komplexe Zahlen in Polarform < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | | Vereinfachen sie folgende komplexe Zahlen. Geben sie das Ergebnis sowohl in kartesischer Form als auch in Polardarstellung an |
a) z=(3+2i)*(-3+4i)
b) [mm] z=\bruch{4-2i}{6-3i}
[/mm]
a) ist bei nach der Umforumg z=-17+6i.
Dies wollte ich in die Polarform bringen und habe daher erstmal r bestimmt:
[mm] r=\wurzel{(-17)^2+6^2}=5\wurzel{13}
[/mm]
danach wollte ich phi bestimmen:
[mm] tan(phi)=5\wurzel{13} [/mm]
phi= 1,51 rad
Daher ist die Polarform:
z= [mm] 5\wurzel{13}(cos(1,51 [/mm] rad)+sin(1,51 rad))
bzw. [mm] z=5\wurzel{13}*e^{i*1,51 rad}
[/mm]
stimmt das soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vereinfachen sie folgende komplexe Zahlen. Geben sie das
> Ergebnis sowohl in kartesischer Form als auch in
> Polardarstellung an
> a) z=(3+2i)*(-3+4i)
> b) [mm]z=\bruch{4-2i}{6-3i}[/mm]
>
> a) ist bei nach der Umforumg z=-17+6i.
Das stimmt
> Dies wollte ich in die Polarform bringen und habe daher
> erstmal r bestimmt:
> [mm]r=\wurzel{(-17)^2+6^2}=5\wurzel{13}[/mm]
Auch das stimmt
> danach wollte ich phi bestimmen:
> [mm]tan(phi)=5\wurzel{13}[/mm]
> phi= 1,51 rad
Du musst den Winkel hier im Gradmaß angeben. Außerdem musst du beachten, dass Z im zweiten Quadraten liegt (Realteil negativ, Imaginärteil positiv), daher musst du den Winkel, hier muss sich also ein Winkel zwischen 90° und 180° ergeben, beachte auch, dass [mm] \tan(\alpha)=\tan(180-\alpha)
[/mm]
Mach dir das letzte mal am Einheitskreis klar.
>
> Daher ist die Polarform:
> z= [mm]5\wurzel{13}(cos(1,51[/mm] rad)+sin(1,51 rad))
> bzw. [mm]z=5\wurzel{13}*e^{i*1,51 rad}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Leider nein, der Winkel ist nicht im Gradmaß und es ist auch der falsche Winkel, da dieser Winkel zum ersten Quadranten gehört, z=-17+6i aber im zweiten Quadraten liegt.
Marius
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Hallo!
Warum MUSS man denn den Winkel im Gradmaß angeben?
Gefordert ist das nicht, und solange man exakt arbeitet und wie hier 'dran schreibt, daß es eben Bogenmaß ist, geht das auch. Grade die Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen wird sehr häufig auch bei Ableitungen, Integralen und dergleichen genutzt, und da ist das Gradmaß fatal.
Es ist sicher sinnvoll, einen Winkel auch im Gradmaß anzugeben, weil man dafür ein besseres Gefühl hat (und hier scheint das ja noch ein wenig zu fehlen), aber eine Pflicht gibt es dafür nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal
> Vereinfachen sie folgende komplexe Zahlen. Geben sie das
> Ergebnis sowohl in kartesischer Form als auch in
> Polardarstellung an
> > b) [mm]z=\bruch{4-2i}{6-3i}[/mm]
>
In Aufgabe b) erweitere z zuerst mit dem komplex konjugierten des Nenners, also mit 6+3i, dann vereinfacht sich die Zahl ungemein.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
ich hab jetzt für phi= [mm] \pi [/mm] raus bei a)
stimmt das?
zu b) der komplexe teilt fällt dann ganz weg richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
> ich hab jetzt für phi= [mm]\pi[/mm] raus bei a)
> stimmt das?
Nein, der Taschenrechner spuckt den Winkel [mm] \varphi=\tan^{-1}(5\sqrt{13})\approx1,515 [/mm] (Bogenmaß) aus.
Dieser liegt aber im falschen Quadranten, zu deinem z gehört der Winkel [mm] \pi-\varphi\approx1,626
[/mm]
Daher dann:
[mm] z=5\cdot\sqrt{13}\cdot e^{1,626i}
[/mm]
Zu den verschiedenen Quadranten schau aber auch mal in ![[]](/images/popup.gif) dieses Skript, du musst dir halt überlegen, in welchem Quadranten dein z liegt.
>
> zu b) der komplexe teilt fällt dann ganz weg richtig?
In der Tat
[mm] \frac{4-2i}{6-3i}=\frac{(4-2i)(6+3i)}{(6-3i)(6+3i)}=\frac{24+12i-12i-6i^{2}}{36-9i^{2}}=\ldots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
ich hab meinen Fehler weiter oben verstanden :)
Ich hab jetzt aber eine neue Hürde
z= [mm] 2e^{i*\bruch{3\pi}{4}}*3e^{i*\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
wie kann ich das in der Polarform zusammenfassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
> ich hab meinen Fehler weiter oben verstanden :)
> Ich hab jetzt aber eine neue Hürde
> z= [mm]2e^{i*\bruch{3\pi}{4}}*3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>
Mit den Potenzgesetzen:
[mm] 2\cdot e^{i\cdot\frac{3}{4}\cdot\pi}\cdot3\cdot e^{i\cdot\frac{1}{2}\cdot\pi}=6\cdot e^{\frac{3\pi}{4}i+\frac{\pi}{2}i}=\ldots
[/mm]
> wie kann ich das in der Polarform zusammenfassen?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 17.11.2013 | | Autor: | Coxy |
wolfram sagt aber etwas anderes:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2e%5E%28i*%283pi%2F4%29%29*3e%5E%28i%28pi%2F2%29%29
was stimmt denn nun?
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Hallo!
Wolfram hat vermutlich auch recht, aber M.Rex hat eindeutig die bessere Lösung.
Denk dran:
[mm] i*e^{i\phi}=i*\cos{\phi}+i^2*\sin{\phi}=i*\cos{\phi}-\sin{\phi}
[/mm]
Jetzt ist [mm] \cos{\phi}=\sin\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right) [/mm] und [mm] \sin{\phi}=-\cos\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right) [/mm]
Das eingesetzt ergibt:
[mm] i*\cos{\phi}-\sin{\phi}= i*\sin\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right)+\cos\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right)=e^{i\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right)}
[/mm]
Da man im Allgemeinen aber die Zahl so zusammen fasst, daß nur wenig komplexes übrig bleibt, ist M.Rex' Lösung eindeutig schöner.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 So 17.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> Wolfram hat vermutlich auch recht, aber M.Rex hat eindeutig
Hallo,
was heißt hier "vermutlich"?
Wolfram hat den Faktor i "draußen gelassen".
Wenn man i als [mm]e^{i*\frac{\pi}{2}}[/mm] schreibt und so mit in den Exponenten hineinnimmt, wird aus [mm]\frac{3\pi}{4}[/mm] dann [mm]\frac{5\pi}{4}[/mm] .
Gruß Abakus
> die bessere Lösung.
>
> Denk dran:
> [mm]i*e^{i\phi}=i*\cos{\phi}+i^2*\sin{\phi}=i*\cos{\phi}-\sin{\phi}[/mm]
>
> Jetzt ist [mm]\cos{\phi}=\sin\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right)[/mm]
> und [mm]\sin{\phi}=-\cos\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right)[/mm]
>
> Das eingesetzt ergibt:
>
> [mm]i*\cos{\phi}-\sin{\phi}= i*\sin\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right)+\cos\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right)=e^{i\left({\phi+\frac{\pi}{4}}\right)}[/mm]
>
> Da man im Allgemeinen aber die Zahl so zusammen fasst, daß
> nur wenig komplexes übrig bleibt, ist M.Rex' Lösung
> eindeutig schöner.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> b) [mm]z=\bruch{4-2i}{6-3i}[/mm]
Ganz besonders schnell geht es, wenn Du hin in Zähler und Nenner weitestegehend ausklammerst und dann kürzt.
Gruß
Loddar
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