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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 28.04.2010 | | Autor: | DasDogma |
| Aufgabe | Gegeben seien die Zahlenfolgen [mm] \{z_{n} \} [/mm] mit [mm] z_{n}=\bruch{1+i}{n^2} [/mm] und [mm] \{w_{n} \} [/mm] mit [mm] w_{n}=e^{in\bruch{\pi}{4}} [/mm].
Welche der Zahlenfolgen ist konvergent? Begründen Sie Ihre Antowort. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Hallo mit einander,
wir haben jetzt in der Mathe-Vorlesung mit dem Thema Funktionentheorie begonnen. Folgen waren noch nie so mein Ding, deshalb hoffe ich, dass ihr meine Ergebnisse bestätigen oder mir halt helfen könntet, wenn ich falsch liegen sollte.
Die erste Folge habe ich in Real- und Imaginärteil zerlegt und davon den Grenzwert per Limes bestimmt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2}=0[/mm]
Dies gilt ja in beiden Fällen.
Die zweite Folge habe ich zunächst folgendermaßen zerlegt:
[mm] w_{n}=e^{in\bruch{\pi}{4}} = cos(n\bruch{\pi}{4})+isin(n\bruch{\pi}{4})[/mm]
Dieser Ausdruck sagt mir dann, dass diese Folge nicht konvergent ist, sondern sich der Wert für [mm] n\to\infty[/mm] immer wieder wiederholen wird, aufgrund der Eigenschaften des Sinus und des Kosinus.
Sind meine Überlegungen richtig?
Es gibt ja auch noch die Herangehensweise mit
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |z_{n}-z_{0}|=0[/mm]
Mein Problem dabei ist, dass ich nicht ganz verstehe was ich da zu tun hab, weil ich kann ja auch nicht für die erste Folge [mm]n=0[/mm] setzen.
Ich hoffe Ihr könnt mir bei beiden Fragen helfen. Schon einmal danke im Vorraus.
Beste Grüße
DasDogma
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Hallo DasDogma,
> Gegeben seien die Zahlenfolgen [mm]\{z_{n} \}[/mm] mit
> [mm]z_{n}=\bruch{1+i}{n^2}[/mm] und [mm]\{w_{n} \}[/mm] mit
> [mm]w_{n}=e^{in\bruch{\pi}{4}} [/mm].
>
> Welche der Zahlenfolgen ist konvergent? Begründen Sie Ihre
> Antowort. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
> Hallo mit einander,
>
> wir haben jetzt in der Mathe-Vorlesung mit dem Thema
> Funktionentheorie begonnen. Folgen waren noch nie so mein
> Ding, deshalb hoffe ich, dass ihr meine Ergebnisse
> bestätigen oder mir halt helfen könntet, wenn ich falsch
> liegen sollte.
>
> Die erste Folge habe ich in Real- und Imaginärteil zerlegt
> und davon den Grenzwert per Limes bestimmt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2}=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dies gilt ja in beiden Fällen.
>
> Die zweite Folge habe ich zunächst folgendermaßen
> zerlegt:
>
> [mm]w_{n}=e^{in\bruch{\pi}{4}} = cos(n\bruch{\pi}{4})+isin(n\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Dieser Ausdruck sagt mir dann, dass diese Folge nicht
> konvergent ist, sondern sich der Wert für [mm]n\to\infty[/mm] immer
> wieder wiederholen wird, aufgrund der Eigenschaften des
> Sinus und des Kosinus.
Das stimmt verbal blumig, aber kannst du das etwas "sauberer" begründen?
> Sind meine Überlegungen richtig?
>
> Es gibt ja auch noch die Herangehensweise mit
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |z_{n}-z_{0}|=0[/mm]
>
> Mein Problem dabei ist, dass ich nicht ganz verstehe was
> ich da zu tun hab, weil ich kann ja auch nicht für die
> erste Folge [mm]n=0[/mm] setzen.
Na, die Vermutung im 1.Fall ist: GW=0
Also [mm] $\left|\frac{1+i}{n^2}-0\right|=\frac{\sqrt{2}}{n^2}$ [/mm]
Und das kriegst du doch beliebig klein ...
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir bei beiden Fragen helfen. Schon
> einmal danke im Vorraus.
Bitte nur ein "r"
>
> Beste Grüße
> DasDogma
LG
schachuzipus
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