Komplexer Betrag < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 So 13.07.2014 | | Autor: | nobodon |
| Aufgabe | Seien [mm] $z,a_j$ [/mm] ($j=1,...,n$) komplexe Zahlen mit $|z|=r$ und [mm] $r,|a_j| \leq [/mm] R$. Zeigen Sie, dass folgende Summe negativ ist.
[mm] $\sum_{j=1}^{n} \log \left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right|$ [/mm] |
Hey Leute ich bins wieder :D,
ich habe mir überlegt, dass für $|z|=R$, dass jeder einzelne Summand Null ist. Dann kam ich auf die Idee, es genügt zu zeigen, dass
$ [mm] \left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right| [/mm] < 1$. Wir schreiben
[mm] $z=re^{i\phi}$ [/mm] und [mm] $a_je^{-i\phi} [/mm] = w$, dann habe ich gerechnet:
$ [mm] \left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{e^{i\phi}(rR-Rw)}{R^2- r\overline w} \right| [/mm] $
Berechnen nun |Zähler| < |Nenner| :
$|rR-Rw| < [mm] R^2- r\overline [/mm] w$, also
[mm] $(rR)^2+R^2 [/mm] < [mm] R^4 [/mm] + [mm] r^2 [/mm] $
Dies führt aber auf kein Ergebnis, eher auf einen Widerspruch zur Aussage der Aufgabe.
Gruß
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Hallo nobodon,
teils, teils...
> Seien [mm]z,a_j[/mm] ([mm]j=1,...,n[/mm]) komplexe Zahlen mit [mm]|z|=r[/mm] und
> [mm]r,|a_j| \leq R[/mm]. Zeigen Sie, dass folgende Summe negativ
> ist.
> [mm]\sum_{j=1}^{n} \log \left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right|[/mm]
>
>
> Hey Leute ich bins wieder :D,
>
> ich habe mir überlegt, dass für [mm]|z|=R[/mm], dass jeder
> einzelne Summand Null ist. Dann kam ich auf die Idee, es
> genügt zu zeigen, dass
> [mm]\left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right| < 1[/mm].
Fast richtig. Am Ende sollte [mm] \le{1} [/mm] stehen, dann stimmt die Aussage.
> Wir schreiben
> [mm]z=re^{i\phi}[/mm] und [mm]a_je^{-i\phi} = w[/mm],
Da hängts schon. Wer behauptet denn, dass die beiden [mm] \varphi [/mm] gleich sind?
Grüße
reverend
> dann habe ich gerechnet:
> [mm]\left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right| = \left| \frac{e^{i\phi}(rR-Rw)}{R^2- r\overline w} \right| [/mm]
>
> Berechnen nun |Zähler| < |Nenner| :
> [mm]|rR-Rw| < R^2- r\overline w[/mm], also
> [mm](rR)^2+R^2 < R^4 + r^2[/mm]
> Dies führt aber auf kein
> Ergebnis, eher auf einen Widerspruch zur Aussage der
> Aufgabe.
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 13.07.2014 | | Autor: | nobodon |
> Fast richtig. Am Ende sollte [mm]\le{1}[/mm] stehen, dann stimmt die
> Aussage.
Okay ist klar hier. Für $|z|=R$ ist die Summe gleich 0.
> > Wir schreiben
> > [mm]z=re^{i\phi}[/mm] und [mm]a_je^{-i\phi} = w[/mm],
>
> Da hängts schon. Wer behauptet denn, dass die beiden
> [mm]\varphi[/mm] gleich sind?
Du verstehst mich falsch hier ich definiere $w:= [mm] a_je^{i\phi}$ [/mm]
Außerdem ist [mm] $a_j$ [/mm] ja nach Voraussetzung eine komplexe Zahl, dann macht dein Kommentar, dass die Argumente von [mm] $a_j$ [/mm] und $z$ gelcih sein keinen Sinn.
> Grüße
> reverend
>
> > dann habe ich gerechnet:
> > [mm]\left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right| = \left| \frac{e^{i\phi}(rR-Rw)}{R^2- r\overline w} \right|[/mm]
>
> >
> > Berechnen nun |Zähler| < |Nenner| :
> > [mm]|rR-Rw| < R^2- r\overline w[/mm], also
> > [mm](rR)^2+R^2 < R^4 + r^2[/mm]
> > Dies führt aber auf kein
> > Ergebnis, eher auf einen Widerspruch zur Aussage der
> > Aufgabe.
> >
> > Gruß
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > > Wir schreiben
> > > [mm]z=re^{i\phi}[/mm] und [mm]a_je^{-i\phi} = w[/mm],
> >
> > Da hängts schon. Wer behauptet denn, dass die beiden
> > [mm]\varphi[/mm] gleich sind?
>
> Du verstehst mich falsch hier ich definiere [mm]w:= a_je^{i\phi}[/mm]
Ich muss sagen, dass ich diese Substitution auch nicht gleich als solche erkannt habe und ebenfalls angenommen hatte, dass du die Argumente irrtümlich als gleich annimmst.
Aber deine nachfolgenden Überlegungen scheinen schon richtig zu sein
> >
> > > dann habe ich gerechnet:
> > > [mm]\left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right| = \left| \frac{e^{i\phi}(rR-Rw)}{R^2- r\overline w} \right|[/mm]
>
> > >
> > > Berechnen nun |Zähler| < |Nenner| :
> > > [mm]|rR-Rw| < R^2- r\overline w[/mm], also
> > > [mm](rR)^2+R^2 < R^4 + r^2[/mm]
Stopp! Wie kommst du auf die letzte Zeile? Nimmst du zB im Linksterm an, dass $rR$ der Real- und $R$ der Imaginärteil der komplexen Zahl im Betrag sei? Überdies hat $w$ sicher nicht den Betrag 1.
Gruß RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 13.07.2014 | | Autor: | nobodon |
> > > >
> > > > Berechnen nun |Zähler| < |Nenner| :
> > > > [mm]|rR-Rw| < R^2- r\overline w[/mm], also
> > > > [mm](rR)^2+R^2 < R^4 + r^2[/mm]
> Stopp! Wie kommst du auf die letzte Zeile? Nimmst du zB im
> Linksterm an, dass [mm]rR[/mm] der Real- und [mm]R[/mm] der Imaginärteil der
> komplexen Zahl im Betrag sei? Überdies hat [mm]w[/mm] sicher nicht
> den Betrag 1.
Also für den Zähler
$|rR-R [mm] \cos(\theta) [/mm] - [mm] iR\sin(\theta)|^2 [/mm] = [mm] (rR)^2 -2rR^2 \cos(\theta) [/mm] + [mm] R^2\cos^2(\theta) [/mm] + [mm] R^2\sin^2(\theta) [/mm] = [mm] (rR)^2 -2rR^2 \cos(\theta) +R^2$
[/mm]
Für den Nenner
[mm] $|R^2- r\cos(\theta) [/mm] + [mm] ir\sin(\theta)|^2= R^4-2rR^2\cos(\theta)+ r^2\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\theta)=R^4 [/mm] - [mm] 2rR^2\cos(\theta) [/mm] + [mm] r^2$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
>
> > > > >
> > > > > Berechnen nun |Zähler| < |Nenner| :
> > > > > [mm]|rR-Rw| < R^2- r\overline w[/mm], also
> > > > > [mm](rR)^2+R^2 < R^4 + r^2[/mm]
> > Stopp! Wie kommst du
> auf die letzte Zeile? Nimmst du zB im
> > Linksterm an, dass [mm]rR[/mm] der Real- und [mm]R[/mm] der Imaginärteil der
> > komplexen Zahl im Betrag sei? Überdies hat [mm]w[/mm] sicher nicht
> > den Betrag 1.
> Also für den Zähler
> [mm]|rR-R \cos(\theta) - iR\sin(\theta)|^2 = (rR)^2 -2rR^2 \cos(\theta) + R^2\cos^2(\theta) + R^2\sin^2(\theta) = (rR)^2 -2rR^2 \cos(\theta) +R^2[/mm]
>
Ich kanns jetzt nachvollziehen, aber trotzdem hast du jetzt wieder vorausgesetzt, dass $w$ den Betrag 1 hat und das stimmt doch nicht!
Fassen wir nochmals zusammen. Wir haben eine komplexe Zahl
[mm] $z=r*e^{i*\phi}$ [/mm] mit [mm] $r\le{R}$
[/mm]
und eine (es reicht einen Summanden zu betrachten) weitere komplexe Zahl [mm] $a_j$ [/mm] von der nur [mm] $|a_j|\le{R}$ [/mm] bekannt ist.
Du führst nun eine weiter komplexe Zahl $w$ ein und definierst
[mm] $w=a_j*e^{-i*\phi}$ [/mm] oder [mm] $a_j=w*e^{i*\phi}$
[/mm]
Die beiden Zahlen $w$ und [mm] $a_j$ [/mm] haben damit sicherlich den gleichen Betrag, $w$ erhalten wir durch simple Drehung von [mm] $a_j$ [/mm] um den Winkel [mm] $-\phi$.
[/mm]
Die Zahl $w$ kann also auch als
[mm] $w=|a_j|*e^{i*\theta}$
[/mm]
geschrieben werden.
Dabei ist [mm] $\theta=arg(a_j)-\phi$.
[/mm]
Zumindest [mm] $|w|=|a_j|\le{R}$ [/mm] hast du in deiner Berechnung nicht berücksichtigt und ich fürchte, dass dein Substitutionstrick dich jetzt nicht der Lösung näher bringt.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Fr 18.07.2014 | | Autor: | nobodon |
okay ich sehe meinen fehler und das diese vorgehensweise nichts bringt... hat jemand eine Idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Fr 18.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> okay ich sehe meinen fehler und das diese vorgehensweise
> nichts bringt... hat jemand eine Idee?
Ich habs nicht durchgedacht, aber du könntest versuchen zu zeigen, dass
$ [mm] \left| \frac{R\cdot (z-a)}{R^2-\overline a* z} \right|=1$ [/mm] für $R=max(|z|,|a|)$
Gruß RMix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 18.07.2014 | | Autor: | nobodon |
es stimmt warum folgt hieraus die behauptung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Sa 19.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> es stimmt warum folgt hieraus die behauptung?
Wenn es dir gelingt das zu zeigen, sollte es danach nicht mehr so schwierig sein zu zeigen, dass für ein größeres R der Betragsausdruck kleiner (als 1) wird. Für mehrere a sind damit die Logarithmen dieser Ausdrücke entweder Null oder negativ und somit gilt das auch für deren Summe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Seien [mm]z,a_j[/mm] ([mm]j=1,...,n[/mm]) komplexe Zahlen mit [mm]|z|=r[/mm] und
> [mm]r,|a_j| \leq R[/mm]. Zeigen Sie, dass folgende Summe negativ
> ist.
> [mm]\sum_{j=1}^{n} \log \left| \frac{R(z-a_j)}{R^2-\overline a_j z} \right|[/mm]
>
>
> Hey Leute ich bins wieder :D,
>
> ich habe mir überlegt, dass für [mm]|z|=R[/mm], dass jeder
> einzelne Summand Null ist.
Und damit wäre die behauptete Aussage ja auch schon widerlegt, oder? Laut Voraussetzung darf ja [mm]|z|=r=R[/mm] sein.
Oder sollte das [mm] $\ldots\le{R}$ [/mm] nur ein [mm] $\ldots
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 So 13.07.2014 | | Autor: | nobodon |
ja es soll [mm] $\leq [/mm] $ sein die ganze Zeit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ja es soll [mm]\leq[/mm] sein die ganze Zeit
Nun, dann ist die Behauptung, die Summe sei immer negativ falsch, den Null ist keine negative Zahl.
Sollte eventuell gezeigt werden, dass die Summe immer [mm]\leq0[/mm] ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 So 13.07.2014 | | Autor: | nobodon |
.. damit ist natürlich 0 inbegriffen gemeint. Also sie ist nicht strikt positiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 So 13.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> .. damit ist natürlich 0 inbegriffen gemeint. Also sie ist
> nicht strikt positiv.
"Natürlich" ist das aber ganz und gar nicht. "Negativ" ist halt etwas anderes als "nicht positiv" (auch wenn der Unterschied Null ist  ).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Fr 18.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rmix,
> > .. damit ist natürlich 0 inbegriffen gemeint. Also sie ist
> > nicht strikt positiv.
>
> "Natürlich" ist das aber ganz und gar nicht. "Negativ" ist
> halt etwas anderes als "nicht positiv" (auch wenn der
> Unterschied Null ist ).
nein; ich komme IMMER durcheinander, wenn jemand von negativ oder
positiv spricht, weil die einen es halt als [mm] $\le [/mm] 0$ bzw. [mm] $\ge [/mm] 0$ meinen, die anderen
wiederum [mm] $<0\,$ [/mm] bzw. $> [mm] 0\,$ [/mm] meinen. (Aus meiner Schulzeit her kannte
ich nur die letzte Variante.)
Ich benutze daher lieber Ausdrücke wie
"strikt positiv" oder "echt positiv" (für [mm] $>\,0$)
[/mm]
bzw.
"nicht strikt positiv" bzw. "nicht echt positiv" (für [mm] $\le [/mm] 0$)
etc.
So nebenbei: Wenn man "negativ" im Sinne von "strikt negativ" benutzt,
dann finde ich es auch ansonsten schwer, einen eigenen Ausdruck für
[mm] $\le [/mm] 0$ zu finden (zumindest fällt mir gerade keiner ein). "Lasch negativ" klingt
jetzt nicht so prickelnd... Außer "negativ mit Null inklusive" fällt mir da nichts
wirklich ein...
(Aber es kann auch sein, dass es einen eigenen Ausdruck dafür gibt, der mir
nur gerade nicht einfällt, weil ich zu müde bin...  .)
P.S. Also am besten immer nachgucken, wie der Autor Begriffe wie "positiv"
bzw. "negativ" verwendet. Die strikte Variante finde ich generell auch
immer durchaus passend, wenn ich etwa an andere Begriffe wie "positiv
definit" und "positiv semidefinit" denke. Aber ich glaube nicht, dass sich
da alle einig sind...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Fr 18.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Nun, bei postiv oder negativ die Null zu inkludieren ist in meinen Augen ein sehr lockerer Umgang mit diesen Begriffen, welcher erst die Klarstellung mit "strikt" erforderlich gemacht hat und (ich denke "zum Glück") doch nicht sehr häufig so gebraucht wird.
Aber wahrscheinlich kann man darüber stundenlang philosophieren, wenn man nichts Besseres vor hat
Mir gefällt der Gedanke nicht sonderlich, die Null gleichzeitig als positiv und negativ zu betrachten.
Die Begriffe "positive Elemente" und "negative Elemente" gibts es ja ganz allgemein in jedem Körper auf dem eine totale Ordnung definiert ist und mir ist da keine andere Definition als jene mit dem strikten < oder > bekannt.
Aber wie du richtig schreibst - man ist erst auf der sicheren Seite, wenn man sich vergewissert, welcher Definition ein Autor folgt. leider ist das aber nicht immer leicht möglich.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Fr 18.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo rmix,
> Nun, bei postiv oder negativ die Null zu inkludieren ist in
> meinen Augen ein sehr lockerer Umgang mit diesen Begriffen,
> welcher erst die Klarstellung mit "strikt" erforderlich
> gemacht hat und (ich denke "zum Glück") doch nicht sehr
> häufig so gebraucht wird.
> Aber wahrscheinlich kann man darüber stundenlang
> philosophieren, wenn man nichts Besseres vor hat
> Mir gefällt der Gedanke nicht sonderlich, die Null
> gleichzeitig als positiv und negativ zu betrachten.
>
> Aber wie du richtig schreibst - man ist erst auf der
> sicheren Seite, wenn man sich vergewissert, welcher
> Definition ein Autor folgt. leider ist das aber nicht immer
> leicht möglich.
ne, philosophieren sollten wir nicht. Meiner Meinung nach sollten Autoren
selber auf sowas achten, wenn sie es wissen (ich finde, dass das in ihrer
didaktischen Verantowrtung liegt). Manchmal vergessen sie's aber auch
einfach, oder sie haben noch nie gehört, dass die Sprache da manchmal
auch anders benutzt wird, oder oder oder...
Der Punkt ist: Wenn man es weiß, sollte man darauf hinweisen. Ansonsten
sollte natürlich der Leser auch in der Lage sein, so etwas nachzuschlagen
oder es aus dem Zusammenhang heraus zu erkennen (wenn jemand
schreibt, dass [mm] $x^2$ [/mm] immer positiv für reelle [mm] $x\,$ [/mm] ist, dann ist doch klar, dass
wohl [mm] "$0\,$ [/mm] inklusive" gemeint ist).
Und nebenbei: So ganz "einheitlich" ist die Vorgehensweise auch nicht
immer. Ich hatte zwar vorhin das Bsp. mit "positiv definit" bzw. "positiv
semidefinit", aber denke doch mal an "monoton" und "streng monoton".
Und man kennt das auch schon aus der Mengenlehre, wenn die einen [mm] "$\subset$" [/mm]
für [mm] "$\subsetneqq$" [/mm] (Argument: passt doch zum Gebrauch von [mm] $<\,$ [/mm] und [mm] $\le$), [/mm] die anderen
aber [mm] "$\subset$" [/mm] für [mm] "$\subseteq$" [/mm] benützen.
Fazit: Manchmal sollte man halt einfach bei gewissen Dingen
- nachschlagen bzw. versuchen, nachzuschlagen
- die Bedeutung aus dem aktuellen Zusammenhang heraus erkennen (können)
oder einfach mal bei dem Autor (oder auch bei anderen, die das wissen
könnten) nachfragen.
Philosophie hilft da nicht viel, es sei denn, mal will die Aufgabe "unter allen
Aspekten" bearbeiten. (Nach dem Motto: "Falls nun 'positiv' wirklich [mm] $>\,0$ [/mm] meint, dann...
Aber falls 'positiv' nun [mm] $\ge [/mm] 0$ meint, dann...")
Das muss aber nicht sein.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 18.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Marcel,
ich bin mir recht sicher, dass bei Monotonie vs strenge Monotonie, aber auch bei Teilmenge und echte Teilmenge die mathematische Definition eindeutig und allgemein übereinkommen ist. Habs noch nie anders gesehen und das Zeichen [mm]\subsetneqq[/mm] wenn überhaupt dann nur um aus didaktischen Gründen explizit auf die Ungleichheit bei der echten Teilmenge hinzuweisen.
Was "positiv" und "negativ" anlangt, so hat mich dein Kommentar kurz unsicher gemacht. Ich hab jetzt einige Bücher konsultiert und auch im weiten Netz ein wenig gesucht und mir ist keine Definition untergekommen, welche das Nullelement zu den positiven und/oder negativen Elementen dazu zählen würde.
Ich geh daher davon, wenn das jemand trotzdem macht, dann ist das im Grunde falsch und es geschieht aus Schlamperei.
> ne, philosophieren sollten wir nicht.
Da hast du schon Recht. Die Mathematik basiert auf Definitionen, da sollten philosophische Betrachtungen nicht nötig sein - jedenfalls nicht wenns um positiv/negativ geht.
> Der Punkt ist: Wenn man es weiß, sollte man darauf
> hinweisen. Ansonsten
Naja, nur wenn man bewusst eine Interpretation verwendet, die der allgemein üblichen Definition widerspricht. Und da muss man auch sagen, dass man das im Grunde gar nicht tun sollte. Die, die es trotzdem tun, sind sich in aller Regel des Widerspruchs ja gar nicht bewusst.
> sollte natürlich der Leser auch in der Lage sein, so
> etwas nachzuschlagen
Wenn der geneigte Leser aber etwas zu positiv/negativ nachschlägt, wird er kaum etwas anderes finden, als dass die Null weder noch ist.
> oder es aus dem Zusammenhang heraus zu erkennen (wenn
> jemand
> schreibt, dass [mm]x^2[/mm] immer positiv für reelle [mm]x\,[/mm] ist, dann
> ist doch klar, dass
> wohl "[mm]0\,[/mm] inklusive" gemeint ist).
...die Aussage mathematisch aber trotzdem schlichtweg falsch ist. Man kann nicht von Studenten mathematische Exaktheit einfordern und selbst aber mit einem saloppen "na, das ist doch eh klar" schludern.
> Philosophie hilft da nicht viel, es sei denn, mal will die
> Aufgabe "unter allen
> Aspekten" bearbeiten. (Nach dem Motto: "Falls nun
> 'positiv' wirklich [mm]>\,0[/mm] meint, dann...
> Aber falls 'positiv' nun [mm]\ge 0[/mm] meint, dann...")
> Das muss aber nicht sein.
Nein, muss es nicht. In der Regel sollte es genügen, allgemein gültige Definitionen zugrunde zu legen.
Bei einer Klausur hängt es aber sehr von Prüfer ab, ob er die Größe und Souveränität hat, etwa bei der vorliegenden Aufgabe die Falsifizierung der Aussage durch das Gegenbeispiel, bei dem die Summe gleich Null (ist nicht negativ) ist, als komplett korrekt gelöst zu werten.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:29 Sa 19.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich bin mir recht sicher, dass bei Monotonie vs strenge
> Monotonie, aber auch bei Teilmenge und echte Teilmenge die
> mathematische Definition eindeutig und allgemein
> übereinkommen ist. Habs noch nie anders gesehen und das
> Zeichen [mm]\subsetneqq[/mm] wenn überhaupt dann nur um aus
> didaktischen Gründen explizit auf die Ungleichheit bei der
> echten Teilmenge hinzuweisen.
beim ersten Teil meinte ich nicht, dass jemand "monoton steigend" im Sinne
von "streng monoton steigend" meint, sondern eher, dass die Verwendung
von "monoton steigend" und "streng monoton steigend" nicht im Einklang
mit der Verwendung von "positiv" im Sinne von "strikt positiv" steht. Anders,
wie wenn jemand [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\subseteq$ [/mm] in Analogie zu [mm] $<\,$ [/mm] und [mm] $\le$ [/mm] benutzt,
was durchaus gängig ist (ich mache es nicht: [mm] $\subset$ [/mm] ist bei mir das Gleiche
wie [mm] $\subseteq$ [/mm] bzw. [mm] $\subseteqq$).
[/mm]
Und Du hast recht: Im Internet findet man eigentlich immer nur "positiv" für
$> [mm] 0\,.$ [/mm] Hat sich anscheinend manifestiert. Ich bin mir aber ziemlich sicher,
noch vor einigen Jahren auch [mm] $\ge [/mm] 0$ gefunden zu haben. Es kann aber auch
sein, dass ich (ich hatte einen sehr schlampigen OR-Prof.) einfach da aufpasse,
weil ich oft aufgrund der Schlampigkeit der Verwendung dieses Begriffs in
Übungsaufgaben bzw. Vorlesungen darauf aufpassen musste.
Generell kann ich aber auch einfach definieren, dass ich sage:
"$r [mm] \in \IR$ [/mm] heißt genau dann positiv, wenn $r [mm] \ge [/mm] 0$ ist."
Und schon gibt's diese Definition (wenngleich ich damit 'anecke' und sicher
- nicht zu Unrecht - es einige Einwände dagegen geben würde).
Mit der "Schludrigkeit" etc. pp. sind wir, denke ich, einer Meinung. Dennoch
eine Sache:
So, wie nicht alle Definitionen absolut gleich sein *müssten*, sind oft auch
nicht immer alle Konventionen eindeutig. Man sollte insbesondere, soweit
ich mich erinnere, in der Funktionalanalysis immer genau aufpassen, gerade
auch bei älteren Werken.
(Die "eingebürgerten Definitionen" sind natürlich sinnvoll, weil man sonst
quasi "von Werk zu Werk" alle Begriffe neu erlernen und dann aus dem
Zshg. heraus die passende Definition wissen müßte. Sowas wäre doch
alles andere als schön - es reicht ja schon jetzt, dass man an manchen
Stellen nochmal nachschlagen muss, was gemeint ist; insbesondere, wenn
man Paper liest und die dann auf gewisse Literatur verweisen...)
Und nur, damit wir sehen, dass der Autor mehr oder weniger machen kann,
was er will:
Wir alle benutzen, denke ich, den Begriff des Funktionsgrenzwertes gleich.
Und dann war ein guter Herr (ich glaube: Königsberger? Aber das kann man
nochmal kontrollieren war wohl Forster) mal so nett, und hat ihn
anders definiert:
siehe diese Diskussion
bzw.
![[]](/images/popup.gif) neuerer Grenzwertbegriff.
(Soweit ich mich erinnere, gefiel etwa Fred97 das gar nicht.)
Und Felix hat da ja auch noch etwas dazu gesagt, was sich geändert hat.
Aber das alles nur nebenbei, ich denke, wir müssen uns jetzt nicht ewig
weiter damit beschäftigen (wenngleich das ganze für mich sicherlich einen
höheren Stellenwert als 'unnützes Wissen' hat - ich denke, es ist einfach
gut, sowas mal gehört zu haben und ein wenig sensibel dafür gemacht
worden zu sein).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:47 Sa 19.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Marcel,
> Anders,
> wie wenn jemand [mm]\subset[/mm] und [mm]\subseteq[/mm] in Analogie zu [mm]<\,[/mm]
> und [mm]\le[/mm] benutzt,
> was durchaus gängig ist
ja, und ich würds ehrlich gesgat auch nicht anders haben wollen!
> Und Du hast recht: Im Internet findet man eigentlich immer
> nur "positiv" für
> [mm]> 0\,.[/mm] Hat sich anscheinend manifestiert. Ich bin mir aber
> ziemlich sicher,
> noch vor einigen Jahren auch [mm]\ge 0[/mm] gefunden zu haben.
Würde mich wundern weil ich denk, dass meine Bücher und paper noch ein paar Jährchen weiter zurückgehen, aber ausschließen kann mans natürlich nicht, dass das jemand einmal für sich so definiert hat.
So universell die "Sprache" und Symbolik der Mathematik auch sein mag, es gibt halt nicht DIE Mathematik-Bibel die alle Definitionen und Symbole enthält und die weltweit bindend wären. Ist vielleicht so ähnlich wie mit der vielgerühmten Plattformunabhängigkeit von Java
Und um kontroverse Definitionen zu studieren müssen wir gar nicht so tief reinsteigen - man denke nur an die Definition der natürlichen Zahlen und ob nun die Null dazugehört. Die DIN nimmt die Null dazu, viele Mathematiker aber nicht und selbst die Schulbücher gehen hier nicht konform.
> Aber das alles nur nebenbei, ich denke, wir müssen uns
> jetzt nicht ewig
> weiter damit beschäftigen (wenngleich das ganze für mich
> sicherlich einen
> höheren Stellenwert als 'unnützes Wissen' hat - ich
> denke, es ist einfach
> gut, sowas mal gehört zu haben und ein wenig sensibel
> dafür gemacht
> worden zu sein).
Ja, schön dass wir drüber geredet haben
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 So 20.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> > Anders,
> > wie wenn jemand [mm]\subset[/mm] und [mm]\subseteq[/mm] in Analogie zu
> [mm]<\,[/mm]
> > und [mm]\le[/mm] benutzt,
> > was durchaus gängig ist
> ja, und ich würds ehrlich gesgat auch nicht anders haben
> wollen!
>
> > Und Du hast recht: Im Internet findet man eigentlich immer
> > nur "positiv" für
> > [mm]> 0\,.[/mm] Hat sich anscheinend manifestiert. Ich bin mir
> aber
> > ziemlich sicher,
> > noch vor einigen Jahren auch [mm]\ge 0[/mm] gefunden zu haben.
> Würde mich wundern weil ich denk, dass meine Bücher und
> paper noch ein paar Jährchen weiter zurückgehen, aber
> ausschließen kann mans natürlich nicht, dass das jemand
> einmal für sich so definiert hat.
so wichtig finde ich das nun auch nicht. Wenn ich mich geirrt haben sollte,
dann war das halt so. Aber man findet jedenfalls oftmals "Zusätze", die
auf sowas hindeuten:
http://www.ina-de-brabandt.de/analysis/allg/definitionsbereich.html
"Logarithmieren ist nur möglich, wenn das Argument positiv ist („echt“
positiv, also größer und nicht gleich Null)."
Das zeigt keineswegs, dass in Papern oder Bücher positiv auch als
nichtnegativ verwendet wird, aber wenigstens, dass manche etwas
verstärkt darauf hinweisen, was sie mit dem Wort genau meinen. Was
natürlich auch seinen Ursprung darin gefunden haben kann, dass hier
viel zu oft *geschlampt* wird beim Begriff "positiv".
Und das "drüber reden" war weniger für Dich, als für den Fragesteller
gedacht. Es war für ihn vielleicht gut, dass wir drüber geredet haben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nun, bei postiv oder negativ die Null zu inkludieren ist in
> meinen Augen ein sehr lockerer Umgang mit diesen Begriffen,
> welcher erst die Klarstellung mit "strikt" erforderlich
> gemacht hat und (ich denke "zum Glück") doch nicht sehr
> häufig so gebraucht wird.
> Aber wahrscheinlich kann man darüber stundenlang
> philosophieren, wenn man nichts Besseres vor hat
> Mir gefällt der Gedanke nicht sonderlich, die Null
> gleichzeitig als positiv und negativ zu betrachten.
> Die Begriffe "positive Elemente" und "negative Elemente"
> gibts es ja ganz allgemein in jedem Körper auf dem eine
> totale Ordnung definiert ist und mir ist da keine andere
> Definition als jene mit dem strikten < oder > bekannt.
Dann hattest Du noch nicht viel mit geordneten Vektoräumen zu tun.
Sei V ein reeller Vektorraum und P ein Kegel in V.
Für x,y [mm] \in [/mm] V definiert man: x [mm] \le [/mm] y : [mm] \gdw [/mm] y-x [mm] \in [/mm] P.
Dann gilt:
y [mm] \in [/mm] P [mm] \gdw [/mm] y-0 [mm] \in [/mm] P [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] y.
Jeder der schon mit Kegeln in Vektorräumen zu tun hatte nennt die Elemente von P "positiv".
FRED
>
>
> Aber wie du richtig schreibst - man ist erst auf der
> sicheren Seite, wenn man sich vergewissert, welcher
> Definition ein Autor folgt. leider ist das aber nicht immer
> leicht möglich.
>
> Gruß RMix
>
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Man wird natürlich immer eine mathematische Unterdisziplin finden, in der irgendwelche Begriffe, die auch sonst in der Mathematik verwendet werden, eine spezielle Bedeutung bekommen.
Aber um was geht es hier? Um angeordnete Körper. Ja, eigentlich um nichts anderes als den wohlbekannten Körper der reellen Zahlen. Und da ist nun mal, Kegel hin, Kegel her, "positiv" eindeutig bestimmt. Und "negativ" ebenso. Und 0 ist keines von beiden, weder positiv noch negativ. Alles andere ist abwegig. "Strikt positiv" ist eine redundante Formulierung, die man der Deutlichkeit halber vielleicht mal gebraucht, um etwa den Betrachter davor zu warnen, leichtfertig [mm]\geq 0[/mm] statt [mm]>0[/mm] anzunehmen. Mehr ist das nicht. Jedenfalls nicht über dem Körper der reellen Zahlen. Anderswo mag anderes gelten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Mo 21.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Mir gefällt der Gedanke nicht sonderlich, die Null
> > gleichzeitig als positiv und negativ zu betrachten.
> > Die Begriffe "positive Elemente" und "negative
> Elemente"
> > gibts es ja ganz allgemein in jedem Körper auf dem eine
> > totale Ordnung definiert ist und mir ist da keine andere
> > Definition als jene mit dem strikten < oder > bekannt.
>
> Dann hattest Du noch nicht viel mit geordneten Vektoräumen
> zu tun.
Ich hatte zwei Zeilen höher von einem geordneten Körper geschrieben. Angesehen davon ging bei der ganzen Diskussion speziell um den Körper der reellen Zahlen, auch wenn wir das vielleicht nicht in jedem Artikel von Neuem explizit hervorgehoben haben.
>
> Sei V ein reeller Vektorraum und P ein Kegel in V.
>
> Für x,y [mm]\in[/mm] V definiert man: x [mm]\le[/mm] y : [mm]\gdw[/mm] y-x [mm]\in[/mm] P.
>
> Dann gilt:
>
> y [mm]\in[/mm] P [mm]\gdw[/mm] y-0 [mm]\in[/mm] P [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]\le[/mm] y.
>
> Jeder der schon mit Kegeln in Vektorräumen zu tun hatte
> nennt die Elemente von P "positiv".
Na hoffentlich, so ist es ja auch definiert. Hier ist es ja auch nicht unsinnig, jedes Element, welche mit dem Nullelement in Relation steht, als positiv zu bezeichnen und das Nullelement selbst damit ebenfalls. Der große Unterschied ist hier doch, dass die Ordnungsrelation eines (halb)geordnete Vektorraumes u.a. reflexiv sein muss, weshalb Verwechslungen und Konflikte mit striktem kleiner von Haus aus ausgeschlossen sind, man könnte hier positiv gar nicht mit > definieren.
Ebenso gibt es in der Mathematik auch Bereiche, in denen "negativ" als "nicht positiv" definiert wird. Beispielsweise "negativ orientierte" Basen in orientierten Vektorräumen. Wenns "die Null" nicht gibt ist das kein Problem und durchaus sinnvoll - bei den reellen Zahlen aber nicht.
Gruß RMix
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