Komplexes Extremwertproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Do 12.07.2007 | | Autor: | xilef |
| Aufgabe | | Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt hat? |
Hallo,
vorab Vielen Dank an alle, die sich bereit erklären zu helfen! Ich komme irgendwie nicht dahinter.
U = [mm] \pi [/mm] r [mm] \* [/mm] ab
mit a und b sind die Seitenlängen des Rechtecks gemeint.
Jetzt müsste ich die Variable a oder b ersetzen, jedoch wie? Und was mir gerade noch eingefallen ist: r ist auch nicht gegeben. r = b/2. Ich weiß nicht weiter, möglicherweise ist es sehr einfach.
Noch mal Danke für eure Unterstützung.
Ich habe diese Aufgabe nirgendwo anders gestellt/gepostet.
Liebe Grüße
Xilef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Do 12.07.2007 | | Autor: | xilef |
Hallo,
ich habe schon selber entdeckt gerade, dass meine Formel für U nicht stimmt. Sie müsste folgendermaßen lauten: U = [mm] \pi [/mm] r + 2a + 2b
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Xelif!
Deine Umfangsformel stimmt nicht ganz ... $u \ = \ [mm] \pi*r+2*a+b [/mm] \ = \ [mm] \pi*\bruch{b}{2}+2*a+b$
[/mm]
Dies ist die Nebenbedingung, die Du nun nach $a \ = \ ...$ [mm] ($\leftarrow$ günstiger!) oder $b \ = \ ...$ umstellen kannst / musst.
Die Hauptbedingung ist hier der Flächeninhalt $A_$ dieses Kanals, der ja maximiert werden soll:
$A(a,b) \ = \ \bruch{1}{2}*\pi*r^2+a*b \ = \ \bruch{1}{2}*\pi*\left(\bruch{b}{2}\right)^2+a*b \ = \ \bruch{\pi}{8}*b^2+a*b$
In diese Funktion nun die umgestellte Nebenbedingung (Umfangsformel) einsetzen ...
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 12.07.2007 | | Autor: | xilef |
Wenn ich die umgestellte Nebenbedingung in die Funktion einsetze, dann bekomme ich folgendes Ergebnis:
A (a,b) = [mm] \bruch{1}{8} \* b^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2}U [/mm] - [mm] \pi \bruch{b}{4} [/mm] - [mm] \bruch{b}{2}) \* [/mm] b
Richtig eingesetzt? Lässt sich das Ganze noch vereinfachen?
Liebe Grüße
Xilef
EDIT: Ich habe einen Fehler entdeckt.
EDIT2: Jetzt müsste es stimmen. Hoffe ich. :)
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Hallo,
das sieht schon gut aus, Du hast ja auch noch Deinen Fehler entdeckt:
[mm] A(b)=\bruch{b^{2}\pi}{8}+\bruch{u}{2}b-\bruch{1}{2}b^{2}-\bruch{\pi}{4}b^{2} [/mm] Auflösen der Klammern
[mm] A(b)=(\bruch{\pi}{8}-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{4})b^{2}+\bruch{u}{2}b [/mm] Ausklammern von [mm] b^{2}
[/mm]
jetzt kommt ja erst die eigentlich Extremwertbetrachtung:
- fasse in der Klammer zusammen,
- bilde die 1. Ableitung,
- setze 1. Ableitung gleich Null,
Steffi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:58 Do 12.07.2007 | | Autor: | xilef |
OK,
wenn ich das dann alles ausgerechnet habe. Erhalte ich für b folgendes Ergebnis:
b = [mm] \bruch{U}{16-4 \pi}
[/mm]
und für a = [mm] \bruch{U}{2} [/mm] - [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{U}{64-16 \pi} [/mm] - [mm] \bruch{U}{32-8 \pi}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Xilef!
Ich erhalte hier etwas anderes mit $b \ = \ [mm] \bruch{2*u}{\pi+4}$ [/mm] .
Wie lautet denn Deine 1. Ableitung $A'(b)_$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 12.07.2007 | | Autor: | xilef |
Ich habe als erste Ableitung:
A'(b) = 8b - 2 [mm] \pi [/mm] b + [mm] \bruch{U}{2}
[/mm]
Liebe Grüße
Xilef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 Fr 13.07.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi xilef!
Ich komme auf [mm] $U=2a+b+b*\frac{\pi}{2}\quad\rightarrow\quad a=\frac{U-b(1+\frac{\pi}{2})}{2}$
[/mm]
Und [mm] $A=ab+\left(\frac{b}{2}\right)^2*\pi$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\quad A(b)=\frac{b*U-b^2*\left(1+\frac{\pi}{2}\right)}{2}+b^2*\frac{\pi}{2}=\ldots =-b^2*\left(\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\right)+b*\frac{U}{2}$
[/mm]
[mm] $A'(b)=-b*\left(\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\right)+\frac{U}{2}\overset{!}{=}0\quad\gdw\quad b=\frac{U}{2(\frac{\pi}{4}+1)}=\ldots =\frac{2U}{\pi + 4}$
[/mm]
Ich kann also nur das Ergebnis von Loddar bestätigen! Du hast ja auch nur einen kleinen Vorzeichenfehler gemacht...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Do 12.07.2007 | | Autor: | xilef |
Ich komme jetzt auf
b = [mm] \bruch{-2u}{\pi + 4}
[/mm]
:)
und bei a eine recht große Formel heraus.
Liebe Grüße
Xilef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Do 12.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Xelif!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Aufgepasst: Beim ersten Term fehlt noch ein Faktor [mm] $\pi$ [/mm] (den ich auch erst unterschlagen hatte).
Gruß
Loddar
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