Komplexwertige Funktion auf R < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:03 Di 05.01.2010 | | Autor: | R03N3 |
| Aufgabe | Sei I die Menge aller [mm] \IC-wertigen [/mm] Funktionen auf [mm] \IR, [/mm] die die Form f(x) = p(x)exp(2*x) mit einem Polynom p vom Grade [mm] \le [/mm] 3 haben man zeige:
a) I ist ein Unterraum des komplexen Vektorraumes aller [mm] \IC [/mm] -wertigen Funktionen auf [mm] \IR
[/mm]
b)Durch I [mm] \to [/mm] I (über dem Pfeil steht ein L)
(Lf)(t) = f'(t) (Also das Bilden der Ableitung) sowie durch I [mm] \to [/mm] I (hier ein M über dem Pfeil) [mm] (Mf)(t)=\integral_{0}^{t}{f(y) dy}
[/mm]
sind [mm] \IC-lineare [/mm] Endomorphismen von I definiert.
c)Die Funktionen [mm] fk(x)=x^k*exp(2*x), 0\le [/mm] k [mm] \le3 [/mm] bilden eine Basis von I. Weiterhin berechne man die Matrixdarstellungen von L und M bezüglich dieser Basis |
Ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme und würde mich über Hilfestellungen oder Quellen die zu dem Thema passen freuen, komme immoment leider nicht wirklich vorwärts. Ich weiß, dass ich bei a) die Untervektorraumaxiome beweisen muss, wie das hier in dem Fall aussieht, weiß ich ehrlich gesagt nicht. Hoffe hier kann mir jemand helfen und tut mir Leid falls das die Falsche Forenrubrik ist, die Aufgaben sind ja relativ weit gefächert. Danke im vorraus :)
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Hallo René,
> Sei $I$ die Menge aller [mm] $\IC$-wertigen [/mm] Funktionen auf [mm] $\IR$, [/mm] die die Form $f(x) = p(x)exp(2*x)$ mit einem Polynom p vom Grade [mm] $\le [/mm] 3$ haben man zeige:
> a) $I$ ist ein Unterraum des komplexen Vektorraumes aller [mm] $\IC$-wertigen [/mm] Funktionen auf [mm] $\IR$
[/mm]
> b)Durch $I [mm] \overset{L}{\rightarrow} [/mm] I$ : $(Lf)(t) = f'(t)$ (Also das Bilden der Ableitung)
> sowie
> durch $I [mm] \overset{M}{\rightarrow} [/mm] I$ : [mm] $(Mf)(t)=\integral_{0}^{t}{f(y) \ dy}$
[/mm]
> sind [mm] $\IC$-lineare [/mm] Endomorphismen von $I$ definiert.
> c)Die Funktionen [mm] $f_k(x)=x^k*exp(2*x), 0\le k\le [/mm] 3$ bilden eine Basis von I. Weiterhin berechne man die Matrixdarstellungen von L und M bezüglich dieser Basis.
> Ich habe mit dieser Aufgabe so meine Probleme und würde
> mich über Hilfestellungen oder Quellen die zu dem Thema
> passen freuen, komme immoment leider nicht wirklich
> vorwärts. Ich weiß, dass ich bei a) die
> Untervektorraumaxiome beweisen muss, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wie das hier in dem
> Fall aussieht, weiß ich ehrlich gesagt nicht. Hoffe hier
> kann mir jemand helfen und tut mir Leid falls das die
> Falsche Forenrubrik ist, die Aufgaben sind ja relativ weit
> gefächert. Danke im vorraus :)
voraus bitte mit nur einem "r"!
Nun, wie lauten denn die Unterraumkriterien?
Doch
1) [mm] $0\in [/mm] I$ wobei $0$ der Nullvektor, das ist hier die Nullabbildung $n(x)=0$ für alle x, ist.
Lässt die sich in der gewünschten Form darstellen als Produkt aus einem Polynom mit Grad [mm] \le [/mm] 3 und [mm] e^{2x}? [/mm]
2) Für [mm] $f_1,f_2\in [/mm] I$ ist auch [mm] $f_1+f_2\in [/mm] I$
Nimm dir dazu solche [mm] $f_1,f_2\in [/mm] I$ her.
Dann ex. Polynome [mm] $p_1,p_2$ [/mm] mit Grad [mm] \le [/mm] 3 und
[mm] $f_1(x)=p_1(x)\cdot{}e^{2x}, f_2(x)=p_2(x)\cdot{}e^{2x}$
[/mm]
Damit ist [mm] $(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)=p_1(x)e^{2x}+p_2(x)e^{2x}=(p_1(x)+p_2(x))e^{2x}=(p_1+p_2)(x)e^{2x}$
[/mm]
Und ist [mm] $p_1+p_2$ [/mm] ein Polynom von Grad [mm] \le [/mm] 3?
Ist also [mm] $f_1+f_2\in [/mm] I?
3) das kannst du nun selber ...
Für die anderen beiden Kurztipps zum Anfangen:
zu b) zeige erstmal, dass die beiden Abbildungen $L,M$ überhaupt Homomorphismen sind.
zu c) zeige erstmal, dass die Biester tatsächlich eine Basis von I bilden.
Was ist dazu zu tun?
Danach kanst du dich um die Abbildungmatrix kümmern.
Wie berechnet man die nochmal?
Wie war das mit den Bildern der Basisvektoren, die du dann als LK der Basis des Bildraumes darstellst?
Was macht man mit den Koeffizienten dieser LK?
Nun leg mal vor!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:08 Mi 06.01.2010 | | Autor: | R03N3 |
Also ich habe jetzt folgendes bei a) i)0 [mm] \in [/mm] I ,wobei 0 der Nullvektor ist. Für p(x)=0 ist f(x)=0 (ii) Für [mm] f_a,f_b \in [/mm] I ist [mm] f_a+f_b \in [/mm] I.
Daraus folgt [mm] f_a(x)+f_b(x)=((p_a_3+p_b_3)*x^3+(p_a_2+p_b_2)*x^2+(p_a+p_b)x+(p_a_0+p_b_0))*e^{2*x} \in [/mm] I ,da kein Polynom > 3 ist.
(iii) [mm] \lambda*f(x)=(\lambda*p_3x^3+\lambda*p_2x^2+\lambda*p_1x+\lambda*p_0)*e^{2x} \in [/mm] I. Daraus folgt I ist Unterraum von [mm] \IC
[/mm]
Ist das schonmal soweit richtig ?
b) Reicht es zu schreiben (Lf)(t) = f'(t) = [mm] (3t^2p_3+2tp_2+p_1)*1/2*e^{2*t} [/mm] und [mm] (Mf)(t)=\integral_{0}^{t}{f(y)\dy}=1/8*(4p_3*t^3+(-6p_3+4p_2)t^2+(6p_3-4p_2+4p_1)*t+(-3p_3+2p_2-2p_1+4p_0)*e(2*t) [/mm] Nun sieht man ja das jeweils die Gleichungen 0 sind, wenn die Koeffizienten der Polynome = 0 sind.
Wenn man jeweils ein LGS daraus macht bekommt man doch nur die triviale Lösung raus und weiß, dass der Kern auch 0 ist oder?
Jetzt noch jeweils Linearität beweisen d.h.
für [mm] (L(f_a+f_b))(t) [/mm] = [mm] (Lf_a)(t)+(Lf_b)(t) [/mm] und [mm] \lambda(Lf)(t)=(L(\lambda [/mm] *f))(t)
Das ganze halt ausgeschrieben das sollte, aber kein Problem sein und dann noch für $ I [mm] \overset{M}{\rightarrow} [/mm] I $, was aber auch keinen Unterschied macht oder?
Zu c) habe ich erstmal noch eine Frage, wie zeigt man, dass sie eine Basis zu I bilden und die Basis ist doch die minimale Anzahl an Vektoren um den ganzen Vektorraum aufzuspannen oder?
Nun zu den Matrixdarstellungen. Die Bilder der Basis sind ja die Spalten der Matrix. Daraus folgt doch [mm] 1/8*\pmat{ 4 & 0 & 0 & 0 \\ -6 & 4 & 0 & 0 \\ 6 & -4 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & -2 & 4} [/mm] und für die Matrix der Ableitung [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 08.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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