Kompliz. Term ungl. 0 zeigen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
In Rahmen meiner Facharbeit bin ich auf das Problem gestoßen, Folgendes zu zeigen:
[mm] $m_{1} [/mm] + [mm] m_{2}*\left(\cos^{2}(\alpha_{2}) + \cos^{2}(\beta_{2}) - \cos^{2}(\alpha_{2})*\cos^{2}(\beta_{2})*\left(1+\cos^{2}(\alpha_{1}-\beta_{1})\right) - 2*\sin(\alpha_{2})*\cos(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2})*\cos(\beta_{2})*\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})\right) \not [/mm] = 0$
wobei [mm] m_{1},m_{2} [/mm] > 0. Es handelt sich um die Determinante einer Koeffizientenmatrix, welche dann innerhalb der Anwendung der Cramerschen Regel zum Nenner einer Differentialgleichung wird. Ich möchte nun zeigen, dass dieser Nenner ungleich 0 ist, um zu zeigen dass die rechte Seite der DGL immer existiert.
Meine Versuche sind bisher relativ kläglich gescheitert, etwas zu zeigen. Obwohl vieles so einladend aussieht, es zu vereinfachen, zum Beispiel die vielen Quadrate bei den Winkelfunktionen, geht es nicht bzw. sind nicht zielführend.
Vielleicht seht ihr ja auf "Anhieb"  etwas?
Ich habe die Gleichung mal durch Maple gejagt, und konnte sehen, dass alle Lösungen, die mir ausgegeben werden, entweder komplex sind oder nicht existieren [mm] (\arccos(>1) [/mm] oder so).
Danke für Eure Hilfe!
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Fr 05.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Stefan
Ich würde das ganze ein wenig aufteilen. Ob das am Ende zum Ziel führt, weiss ich nicht, aber es wäre mein Ansatz.
[mm] \overbrace{m_{1}}^{>0} +\overbrace{m_{2}}^{>0}(\overbrace{\cos^{2}(\alpha_{2}) + \cos^{2}(\beta_{2})}^{>0\text{Quadrate sind immer}>0}- \cos^{2}(\alpha_{2})\cdot{}\cos^{2}(\beta_{2})\cdot{}\left(1+\cos^{2}(\alpha_{1}-\beta_{1})) - 2\cdot{}\sin(\alpha_{2})\cdot{}\cos(\alpha_{2})\cdot{}\sin(\beta_{2})\cdot{}\cos(\beta_{2})\cdot{}\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})\right)\ne0
[/mm]
Aber jetzt wird es schwieriger.
Zeige zuerst mal, dass
[mm] \cos^{2}(\alpha_{2}) [/mm] + [mm] \cos^{2}(\beta_{2})>\cos^{2}(\alpha_{2})\cdot{}\cos^{2}(\beta_{2})\cdot{}(1+\cos^{2}(\alpha_{1}-\beta_{1}))
[/mm]
Damit wäre
[mm] m_{1}+m_{2}(\cos^{2}(\alpha_{2})+ \cos^{2}(\beta_{2})-\cos^{2}(\alpha_{2})\cdot{}\cos^{2}(\beta_{2})\cdot{}(1+\cos^{2}(\alpha_{1}-\beta_{1}))>0
[/mm]
Und wenn du jetzt zeigst, dass
[mm] m_{1}+m_{2}(\cos^{2}(\alpha_{2})+ \cos^{2}(\beta_{2})-\cos^{2}(\alpha_{2})\cdot{}\cos^{2}(\beta_{2})\cdot{}\left(1+\cos^{2}(\alpha_{1}-\beta_{1}))\red{>}2\cdot{}\sin(\alpha_{2})\cdot{}\cos(\alpha_{2})\cdot{}\sin(\beta_{2})\cdot{}\cos(\beta_{2})\cdot{}\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})\right)
[/mm]
hast du deine Gesamtbehauprung bewiesen.
Ich weiss nicht, ob und wenn ja, was es bringt, aber das wäer mein Versuch
Marius
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Hallo Marius, zunächst danke für deine Antwort!
Ich habe nochmal ein wenig drüber gebrütet und mir ist eine (tolle) Faktorisierung aufgefallen (die Formel ist im Vergleich zu vorher nur negativ!)
[mm] $m_{2}*\left(-\cos^{2}(\alpha_{2})-\cos^{2}(\beta_{2}) + 2*\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2})*\red{\cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2})*\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})}+\cos^{2}(\alpha_{2})*\cos^{2}(\beta_{2}) + \red{\cos^{2}(\alpha_{2})*\cos^{2}(\beta_{2})*\cos^{2}(\alpha_{1}-\beta_{1})}\right)-m_{1}$
[/mm]
Das hat mich auf folgende Idee gebracht:
[mm] $m_{2}*\left(-\cos^{2}(\alpha_{2})-\cos^{2}(\beta_{2}) + \blue{\left(\cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2})*\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})+\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2})\right)^{2}} - \sin^{2}(\alpha_{2})*\sin^{2}(\beta_{2}) + \cos^{2}(\alpha_{2})*\cos^{2}(\beta_{2})\right)-m_{1}$
[/mm]
Der einzelne Rest an Quadraten der Winkelfunktionen, der jetzt überall rumschwirrt, lässt sich auch noch wunderbar vereinfachen:
[mm] $m_{2}*\left(\blue{\left(\cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2})*\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})+\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2})\right)^{2}} - 1\right)-m_{1}$
[/mm]
Jetzt müsste ich also nur noch zeigen, dass sich
[mm] \cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2})*\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})+\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2})
[/mm]
stets im Intervall -1 bis 1 bewegt... wie könnte ich das zeigen?
Kann ich eine Abschätzung für [mm] \cos(\alpha_{1}-\beta_{1}) [/mm] der Form
$-1 [mm] \le \cos(\alpha_{1}-\beta_{1}) \le [/mm] 1$
und so nur die beiden Extremfälle untersuchen, also
[mm] $\cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2})*(1)+\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2}) [/mm] = [mm] \cos(\alpha_{2}-\beta_{2})$
[/mm]
bzw.
[mm] $\cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2})*(-1)+\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2}) [/mm] = [mm] -\cos(\alpha_{2}+\beta_{2})$
[/mm]
Mit welcher mathematisch exakten Legitimation dürfte ich das?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Fr 05.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] \overbrace{\cos(\alpha_{2})\cdot{}\cos(\beta_{2})\cdot{}\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})}^{\in[-1;1]\text{, da alle Einzelwerte}\in[-1;1]} +\overbrace{\sin(\alpha_{2})\cdot{}\sin(\beta_{2})}^{\in[-1;1]\text{, da alle Einzelwerte}\in[-1;1]}
[/mm]
Jetzt musst du nur noch Zeigen, dass die Summe ebenfalls im Intervall [-1;1] liegt.
Marius
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Hallo!
[mm]\overbrace{\cos(\alpha_{2})\cdot{}\cos(\beta_{2})\cdot{}\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})}^{\in[-1;1]\text{, da alle Einzelwerte}\in[-1;1]} +\overbrace{\sin(\alpha_{2})\cdot{}\sin(\beta_{2})}^{\in[-1;1]\text{, da alle Einzelwerte}\in[-1;1]}[/mm]
>
> Jetzt musst du nur noch Zeigen, dass die Summe ebenfalls im
> Intervall [-1;1] liegt.
Ähem... Und wie mache ich das? Das will mir nicht gelingen...
Die Abschätzung, die ich oben vorgenommen hatte, ist nicht möglich?
Danke für deine Antwort und Hilfe,
Stefan.
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Hallo Marius,
das würde mich auch interessieren. Ich finde auch keinen Weg.
steppenhahns Abschätzung dagegen funktioniert m.E. nachweislich, siehe meine Rückmeldung dazu.
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> Kann ich eine Abschätzung für [mm]\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})[/mm]
> der Form
>
> [mm]-1 \le \cos(\alpha_{1}-\beta_{1}) \le 1[/mm]
>
> und so nur die beiden Extremfälle untersuchen, also
>
> [mm]\cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2})*(1)+\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2}) = \cos(\alpha_{2}-\beta_{2})[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2})*(-1)+\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2}) = -\cos(\alpha_{2}+\beta_{2})[/mm]
>
> Mit welcher mathematisch exakten Legitimation dürfte ich
> das?
Setze mal [mm] a=\cos(\alpha_{2})*\cos(\beta_{2}), b=\sin(\alpha_{2})*\sin(\beta_{2}), t=\cos(\alpha_{1}-\beta_{1})
[/mm]
Deine beiden Abschätzungen entstammen der Ungleichungskette
[mm] -1\le a*t+b\le1
[/mm]
für die Werte [mm] t=\pm1, [/mm] für die Du nachweisen kannst, dass die Ungleichungskette erfüllt ist.
Du willst wissen, ob Du nun daraus folgern kannst, dass sie für [mm] -1\le t\le1 [/mm] erfüllt ist. Das ist doch nicht schwer zu begründen, wenn die Trigonometrie einmal über Bord ist. Für Deine Abschätzung darf sie das durchaus sein.
Die Begründung könnte auf [mm] \a{}f(t)=a*t+b [/mm] fußen...
> Danke für Eure Hilfe,
>
> Stefan
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Hallo, und danke für deine Antwort!
> Du willst wissen, ob Du nun daraus folgern kannst, dass sie
> für [mm]-1\le t\le1[/mm] erfüllt ist. Das ist doch nicht schwer zu
> begründen, wenn die Trigonometrie einmal über Bord ist. Für
> Deine Abschätzung darf sie das durchaus sein.
Wieso?
> Die Begründung könnte auf [mm]\a{}f(t)=a*t+b[/mm] fußen...
Darf ich das denn so einfach? Aus der Funktion eine lineare machen? Dann ist mir natürlich klar, dass wegen
f(-1) > -1
und
f(1) < 1
für beliebiges [mm] $z\in [/mm] [-1,1]$
f(z) [mm] \in [/mm] [-1,1]
folgen muss, weil es eine lineare Funktion ist.
Stefan.
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> Hallo, und danke für deine Antwort!
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> > Du willst wissen, ob Du nun daraus folgern kannst, dass sie
> > für [mm]-1\le t\le1[/mm] erfüllt ist. Das ist doch nicht schwer zu
> > begründen, wenn die Trigonometrie einmal über Bord ist. Für
> > Deine Abschätzung darf sie das durchaus sein.
>
> Wieso?
Wenn Du wissen willst, ob die Ungleichungskette immer (also für beliebige [mm] \alpha_{1}, \beta_{1}, \alpha_2, \beta_2) [/mm] erfüllt ist, kannst Du ja [mm] \alpha_2, \beta_2 [/mm] als Parameter nehmen und danach suchen, welche Aussage allgemein für [mm] \alpha_1, \beta_1 [/mm] folgt. Hier passiert nichts anderes, nur dass Du statt der unhandlichen Winkel die beiden Terme [mm] \cos{\alpha_2}*\cos{\beta_2} [/mm] und [mm] \sin{\alpha_2}*\sin{\beta_2} [/mm] als Parameter setzt, oBdA. Im Gegenteil, Du forderst noch nicht einmal eine Größenbeschränkung, obwohl diese ja eigentlich mit den Wertebereichen der trigonometrischen Funktionen begründbar wäre.
Du erhältst [mm] \a{}f(t)=a*t+b [/mm] und untersuchst das Verhalten der Funktion für t aus einem bestimmten Intervall. Dazu betrachtest Du die Intervallgrenzen. An beiden ist die Ungleichungskette wahr, und da die Funktion linear ist...
Alles erlaubte Schritte, oder?
> > Die Begründung könnte auf [mm]\a{}f(t)=a*t+b[/mm] fußen...
>
> Darf ich das denn so einfach? Aus der Funktion eine lineare
> machen?
Machst Du doch gar nicht. Sie ist schon linear in t, wenn Du die angegebenen Terme als Parameter nimmst.
> Dann ist mir natürlich klar, dass wegen
>
> f(-1) > -1
>
> und
>
> f(1) < 1
>
> für beliebiges [mm]z\in [-1,1][/mm]
>
> f(z) [mm]\in[/mm] [-1,1]
>
> folgen muss, weil es eine lineare Funktion ist.
Eben.
Die Zusammenfassung und noch mehr die Abschätzung hast Du übrigens gut gemacht. ![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]")
>
>
> Stefan.
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Hallo reverend,
danke für die Hilfe und das Lob  ! Jetzt hab ichs verstanden.
Stefan.
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Hallo steppenhahn,
Wegen [mm] m_1>0 [/mm] und [mm] m_2>0 [/mm] würde es genügen zu
zeigen, dass der Klammerausdruck stets [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Um ein wenig Übersicht zu gewinnen, würde ich
vorschlagen, Abkürzungen einzuführen, z.B.:
[mm] u=\alpha_2
[/mm]
[mm] v=\beta_2
[/mm]
[mm] w=\alpha_1-\beta_1
[/mm]
so hat man eine Variable weniger und keine
lästigen Indices mehr.
Eine elegante Vereinfachungsmöglichkeit habe
ich bisher nicht erkannt, deshalb die Frage: wie
bist du überhaupt erst zu dem Term gekommen ?
Vielleicht lässt sich schon auf dem Weg zu dieser
Formel etwas einfacher machen ...
LG al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
danke für deine Antwort!
Ja, mit der Übersicht hab ich es nicht so, auf meinem Zettel schreib ich die Formeln immer untereinander. Der Term ist das Ergebnis einer 4x4-Determinante, die ich nicht selbst, sondern ein Programm ausgerechnet hat. Ich versuche nun, mit diesem Ergebnis klarzukommen
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Fr 05.12.2008 | | Autor: | reverend |
Stell doch bitte mal die Matrix ein. Programme habens ja nicht so mit dem Vereinfachen. Vielleicht lässt sich (ganz nach dem Vorschlag von Al-Chwarizmi) ja doch eine hübschere Fassung finden.
Langsam mag ich nämlich keine weiteren Additionstheoreme mehr heranziehen...
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