Komposition Endomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus von V mit
f [mm] \circ [/mm] f = f.
Zeigen Sie, dass dann V=ker(f) [mm] \oplus [/mm] im(f) gilt. |
Hallo,
ich versuche mich gerade an der Aufgabe und habe auch schon ein wenig recherchiert; leider kam nichts brauchbares dabei raus.
Für Endomorphismus habe ich folgende Definition:
"Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus f:A→A einer mathematischen Struktur A in sich selbst."
Jetzt stehe ich erstmal vor dem Problem, überhaupt zu verstehen, was f [mm] \circ [/mm] f = f meint.
Hat da jemand einen Ratschlag für mich?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:51 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Ich habe einen Fortschritt erzielt:
f [mm] \circ [/mm] f = f ist idempotent, also [mm] \forall v\in [/mm] V ergibt eine zweimalige Anwendung von f den gleichen Wert wie die einmalige Anwendung, also f(f(x)) = f(x)
Ich würde jetzt gerne an einem konkreten Vektorraum darstellen und würde dafür den R³ vorschlagen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Sa 25.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein K-Vektorraum und f:V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus von
> V mit
> f [mm]\circ[/mm] f = f.
>
> Zeigen Sie, dass dann V=ker(f) [mm]\oplus[/mm] im(f) gilt.
> Hallo,
> ich versuche mich gerade an der Aufgabe und habe auch
> schon ein wenig recherchiert; leider kam nichts brauchbares
> dabei raus.
>
> Für Endomorphismus habe ich folgende Definition:
> "Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus f:A→A einer
> mathematischen Struktur A in sich selbst."
Die math. Struktur A ist hier der Vektorraum V und f ist eine lineare Abbildung.
>
> Jetzt stehe ich erstmal vor dem Problem, überhaupt zu
> verstehen, was f [mm]\circ[/mm] f = f meint.
Das bedeutet: f(f(x))=f(x) für alle x in V.
>
> Hat da jemand einen Ratschlag für mich?
Für x [mm] \in [/mm] V gilt x=f(x)+(x-f(x)). Klar: f(x) [mm] \in [/mm] Im(f). Zeige: x-f(x) [mm] \in [/mm] ker(f).
Dann hast Du: V= Im(f)+ker(f).
Jetzt ist nur noch zu zeigen: Im(f) [mm] \cap [/mm] ker(f)= [mm] \{0\}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Sa 25.04.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
So langsam verstehe ich es.
Ich probiere mich mal am Beweis.
Danke fred97. 
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