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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Es seien f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] X und X,Y beliebe Mengen.
Ist dann folgendes korrekt?
g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_A [/mm] , so ist f surjektiv. |
hi!
Ich habe zuerst gedacht, dass die Behauptung stimmt, weil ich annahm, dass das ganze sonst keine Abbildung mehr wäre (ich könnte sozusagen ein Element in Y haben, das nicht durch f getroffen wird und damit wäre g doch keine Abbildung mehr).
Dann habe ich aber noch einmal nachgedacht und mir überlegt, dass das hier vielleicht egal ist, etwas in Y auszulassen. da die Definitionsmenge von g [mm] \circ [/mm] f ja X ist, aus der alle Elemente genommen werden.
Also wäre die Behauptung falsch?
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> Es seien f: X [mm]\to[/mm] Y und g: Y [mm]\to[/mm] X und X,Y beliebe Mengen.
> Ist dann folgendes korrekt?
> g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_A[/mm] , so ist f surjektiv.
> hi!
> Ich habe zuerst gedacht, dass die Behauptung stimmt, weil
> ich annahm, dass das ganze sonst keine Abbildung mehr wäre
> (ich könnte sozusagen ein Element in Y haben, das nicht
> durch f getroffen wird und damit wäre g doch keine
> Abbildung mehr).
> Dann habe ich aber noch einmal nachgedacht und mir
> überlegt, dass das hier vielleicht egal ist, etwas in Y
> auszulassen. da die Definitionsmenge von g [mm]\circ[/mm] f ja X
> ist, aus der alle Elemente genommen werden.
> Also wäre die Behauptung falsch?
Hallo,
ja, die Behauptung ist falsch.
Wesentlch ist nur, daß g das Element f(x) dann wirklich auf x abbildet.
Seien [mm] X:=\{1\}, Y:=\{a,b\}
[/mm]
f(1)=a (nicht surjektiv!)
g(a)=1
g(b)=1
Es ist g(f(1))= g(a)=1, also ist [mm] g=id_X.
[/mm]
Gruß v. Angela
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