Komposition und Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:20 Fr 15.05.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Seien [mm] \vec{f}: \IR \to \IR^3, [/mm] t [mm] \mapsto \vektor{e^t \\ t \\ 2t}
[/mm]
und g: [mm] \IR^3 \to \IR, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto xe^{y-z}
[/mm]
Welche der Kompositionen sind erklärt? |
Hallo,
ich verstehe nicht ganz was die Kompositionen genau mit dem Gradient zu tun haben.
Jedenfalls wäre für g [mm] \circ [/mm] g
=> [mm] g(g\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] \vektor{xe^{y-z} * e^{y-z} \\ xe^{xe^{y-z}-z} \\ xe^{y-xe^{y-z}}}
[/mm]
Für [mm] \vec{f} \circ [/mm] g
=> [mm] \vec{f}(g(g\vektor{x \\ y \\ z})) [/mm] = [mm] \vektor{e^{xe^{y-z}} \\ xe^{y-z} \\ 2*xe^{y-z}}
[/mm]
Und woran erkenne ich jetzt, ob diese Komposition erklärt ist?
Viele Grüße Nina
|
|
| |
|
> Seien [mm]\vec{f}: \IR \to \IR^3,[/mm] t [mm]\mapsto \vektor{e^t \\ t \\ 2t}[/mm]
>
> und g: [mm]\IR^3 \to \IR, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto xe^{y-z}[/mm]
>
> Welche der Kompositionen sind erklärt?
> Hallo,
>
> ich verstehe nicht ganz was die Kompositionen genau mit dem
> Gradient zu tun haben.
Hallo,
in der v. Dir geposteten Aufgabenstellung steht nichts von Gradient, und deshalb wundert mich Deine Frage etwas.
Aber es ist sicher nicht verkehrt, wenn Du mal nachschaust, für welche Funktionen Ihr "Gradient" erklärt habt.
>
> Jedenfalls wäre für g [mm]\circ[/mm] g
>
> => [mm]g(g\vektor{x \\ y \\ z})[/mm] = [mm]\vektor{xe^{y-z} * e^{y-z} \\ xe^{xe^{y-z}-z} \\ xe^{y-xe^{y-z}}}[/mm]
Nein, das ist nicht richtig.
Es ist doch g( [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] )= [mm] xe^{y-z}.
[/mm]
Wenn Du jetzt g(g( [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] )) haben willst, mußt Du doch [mm] g(xe^{y-z}) [/mm] berechnen, und das wird Dir schlecht gelingen.
>
> Für [mm]\vec{f} \circ[/mm] g
>
> => [mm]\vec{f}(g(g\vektor{x \\ y \\ z}))[/mm]
Was denn jetzt? [mm] \vec{f} \circ[/mm] [/mm] g oder [mm] \vec{f} \circ[/mm] g\circ [/mm] g?
Letzteres kann aus oben angedeutetem Grund nicht klappen.
> = [mm]\vektor{e^{xe^{y-z}} \\ xe^{y-z} \\ 2*xe^{y-z}}[/mm]
Wenn [mm] \vec{f} \circ[/mm] [/mm] g gemeint war, hast Du das richtig berechnet.
Ich vermute mal, daß Du auch über [mm] g\circ \vec{f} [/mm] nachdenken sollst.
> Und woran erkenne ich jetzt, ob diese Komposition erklärt
> ist?
Du mußt gucken, ob der Defbereich der einen und der Wertebereich der anderen überhaupt zusammenpassen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 15.05.2009 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Die Frage, was das mit dem Gradienten zu tun hat, war deswegen, weil wir eigentlich gerade Gradienten behandeln und wir nun diese Aufgabe bekommen haben. Das hatte mich eben etwas gewundert.
Warum kann man [mm] g(g(\vektor{x \\ y \\ z})) [/mm] nicht berechnen?
Das der Wertebereich hier nicht mit dem Def.-bereich übereinstimmt ist hier klar, aber warum geht das nicht?
Eigentlich meinte ich auch [mm] \vec{f} (\virv g((\vektor{x \\ y \\ z})) [/mm] hatte mich da nur verschrieben.
Ansonsten geht noch g [mm] \circ \vec{f} [/mm] wenn man sich den Def.- und Wertebereich anschaut.
Dann wäre das wohl [mm] g(\vec{f}) [/mm] = [mm] ((\vektor{x*e^{y-z} \\ x*e^{y-z} \\ x*e^{y-z}})) [/mm] ??
[mm] \vec{f} \circ \vec{f} [/mm] wäre wohl nicht erklärt.
Wenn man jetzt die Ableitung von [mm] \vec{f} \circ [/mm] g und g [mm] \circ \vec{f} [/mm] anschaut, dann wäre das doch dann beides mal eine Matrix
z.B. für
[mm] =>g(\vec{f})'= [/mm]
das hier etwa
[mm] \pmat{ e^{y-z} & e^{y-z}*x & -e^{y-z}*x \\ e^{y-z} & e^{y-z}*x & -e^{y-z}*x \\ e^{y-z} & e^{y-z}*x & -e^{y-z}*x }
[/mm]
oder?
lg
|
|
|
| |
|
> Warum kann man [mm]g(g(\vektor{x \\ y \\ z}))[/mm] nicht berechnen?
Hallo,
versuch's mal.
>
> Das der Wertebereich hier nicht mit dem Def.-bereich
> übereinstimmt ist hier klar
Übereinstimmen müssen die ja nicht unbedingt, aber wenn Du diese verkettung berechnen willst, muß der Wertebereich eine Teilmenge des Definitionsbereiches sein.
> aber warum geht das nicht?
s.o.
>
> Eigentlich meinte ich auch [mm]\vec{f} (\virv g((\vektor{x \\ y \\ z}))[/mm]
> hatte mich da nur verschrieben.
Aha.
>
> Ansonsten geht noch g [mm]\circ \vec{f}[/mm] wenn man sich den Def.-
> und Wertebereich anschaut.
Ja.
>
> Dann wäre das wohl [mm]g(\vec{f})[/mm] = [mm]((\vektor{x*e^{y-z} \\ x*e^{y-z} \\ x*e^{y-z}}))[/mm]
> ??
Nein.
Rechne das mal langsam, und schreib esvor allem auch vernünftig auf, damit Du Dich nicht in Deinen eigenen Stricken verfängst.
[mm] g\circ \vec{f}: ...\to [/mm] ...
[mm] g\circ \vec{f}(...)=g(\vec{f}(...)):=...
[/mm]
>
> [mm]\vec{f} \circ \vec{f}[/mm] wäre wohl nicht erklärt.
Richtig.
>
>
> Wenn man jetzt die Ableitung von [mm]\vec{f} \circ[/mm] g und g
> [mm]\circ \vec{f}[/mm] anschaut, dann wäre das doch dann beides mal
> eine Matrix
Im Prinzip schon. Wenn Du aber [mm] g\circ \vec{f} [/mm] richtig berechnest, ist die Ableitungsmatrix kaum als Matrix zu erkennen....
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Sa 16.05.2009 | | Autor: | nina1 |
Hallo,
Ok, dann wird es wohl so sein:
g [mm] \circ \vec{f}: \IR^3 \to \IR [/mm] => g [mm] \circ \vec{f}(t)=g(\vec{f}(t)) [/mm] := [mm] g\vektor{e^t \\ t \\ 2t}
[/mm]
= [mm] e^t*e^{t-2t} [/mm] = 1
Und die Ableitungen wären dann wohl:
Von dem obigen = 0
und von g [mm] \circ \vec{f} [/mm] =(wenn man das so definieren darf) [mm] (f_{1}, f_{2}, f_{3})^T [/mm] =>
[mm] ((f_{1}, f_{2}, f_{3})^T)' [/mm] wären dann die einzelnen partiellen Ableitungen z.B.:
[mm] \bruch{\partial f_{1}}{\partial x} [/mm] = [mm] e^{x*e^{y-z}+(y-z)}
[/mm]
oder?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> Ok, dann wird es wohl so sein:
>
> g [mm]\circ \vec{f}: \IR^3 \to \IR[/mm] => g [mm]\circ \vec{f}(t)=g(\vec{f}(t))[/mm]
> := [mm]g\vektor{e^t \\ t \\ 2t}[/mm]
> = [mm]e^t*e^{t-2t}[/mm] = 1
>
> Und die Ableitungen wären dann wohl:
>
> Von dem obigen = 0
Hallo,
ja.
>
> und von g [mm]\circ \vec{f}[/mm] =(wenn man das so definieren darf)
> [mm](f_{1}, f_{2}, f_{3})^T[/mm] =>
>
> [mm]((f_{1}, f_{2}, f_{3})^T)'[/mm] wären dann die einzelnen
> partiellen Ableitungen z.B.:
>
> [mm]\bruch{\partial f_{1}}{\partial x}[/mm] = [mm]e^{x*e^{y-z}+(y-z)}[/mm]
>
> oder?
Eher nicht. g [mm]\circ \vec{f}[/mm] hängt doch gar nicht von der Variablen x ab. Wie wilst Du da die erste Komponente nach x ableiten? Außerdem hat g [mm]\circ \vec{f}[/mm] ja nicht mehrere Komponenten, wie Du oben festgestellt hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 17.05.2009 | | Autor: | nina1 |
Ok, dann heißt das natürlich auch das hier die Ableitung 0 ist, klar.
In einer weiteren Aufgabe heißt es, dass man die Ableitungen nun berechnen soll, indem die Kompositionen explizit angegeben werden.
Hier wird dann wohl auch wieder beides mal 0 rauskommen,da ja f zB dann nur von t abhängt, aber ja keins vorhanden ist in [mm] (f'(g'(\vektor{x \\ y \\ z)}))
[/mm]
lg
|
|
|
| |
|
> In einer weiteren Aufgabe heißt es, dass man die
> Ableitungen nun berechnen soll, indem die Kompositionen
> explizit angegeben werden.
Hallo,
aha. Mir war bisher gar nicht klar, daß der Aufgabentext irgendeine Aneisung bzgl. Ableitungen enthielt.
Die Kompositionen explizit angegeben und deren Ableitung berechnet, hast Du zuvor getan.
> Hier wird dann wohl auch wieder beides mal 0 rauskommen,da
Ich weiß jetzt grad nicht, was Du mit "beide Male" meinst.
Vielleicht bin ich etwas dämlich, aber mir fiele es leichter, hier am Ball zu bleiben, wenn ich die genaue Aufgabenstllung kennen würde, und wenn Du dann einfach immer noch mal die Funktion und ihre Ableitungen, partiellen Ableitungen oder was weiß ich, was Du berechnen sollst, hinschreiben würdest.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
