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Kompositionen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:18 Mi 30.10.2013
Autor: ElizabethBalotelli

Aufgabe
Gilt für beliebige Selbstabbildungen f und g einer Menge A stets f*g= g*f ?

Was ich mich schon die ganze Zeit frage: Kann es sein, dass Selbstabbildungen nicht bijektiv sind? Wenn ja, ein Beispiel?
Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige Aufgabenstellung? ;)
Das wäre nett!

        
Bezug
Kompositionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:41 Mi 30.10.2013
Autor: fred97


> Gilt für beliebige Selbstabbildungen f und g einer Menge A
> stets f*g= g*f ?
>  Was ich mich schon die ganze Zeit frage: Kann es sein,
> dass Selbstabbildungen nicht bijektiv sind?

Natürlich.

> Wenn ja, ein
> Beispiel?

[mm] A=\IR, f(x)=x^2, [/mm] f ist weder injektiv noch surjektiv


>  Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige
> Aufgabenstellung? ;)

Was ist mit f*g genau gemeint ? Ich vermute  die Komposition (Verkettung) von Funktionen, also $f [mm] \circ [/mm] g$.

Nimm wieder [mm] A=\IR f(x)=x^2 [/mm] und g(x)=sin(x)

Was ist  $f [mm] \circ [/mm] g$ ?

Was ist  $g [mm] \circ [/mm] f$ ?

FRED

>  Das wäre nett!


Bezug
                
Bezug
Kompositionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:59 Mi 30.10.2013
Autor: ElizabethBalotelli


> > Gilt für beliebige Selbstabbildungen f und g einer Menge A
> > stets f*g= g*f ?
>  >  Was ich mich schon die ganze Zeit frage: Kann es sein,
> > dass Selbstabbildungen nicht bijektiv sind?
>
> Natürlich.

Ich habe glaube ich die ganze Zeit Selbstabbildungen mit identischen Abbildungen verwechselt.

>  
> > Wenn ja, ein
> > Beispiel?
>  
> [mm]A=\IR, f(x)=x^2,[/mm] f ist weder injektiv noch surjektiv
>  

Das heisst, bei einer Selbstabbildung ist es nur wichtig, das die Zielmenge in der Definitionsmenge liegt? Also wenn die Definitionsmenge [mm] \IR [/mm] ist, muss die Zielmenge auch in [mm] \IR [/mm] liegen?

>
> >  Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige

> > Aufgabenstellung? ;)
>  
> Was ist mit f*g genau gemeint ? Ich vermute  die
> Komposition (Verkettung) von Funktionen, also [mm]f \circ g[/mm].
>  
> Nimm wieder [mm]A=\IR f(x)=x^2[/mm] und g(x)=sin(x)
>  
> Was ist  [mm]f \circ g[/mm] ?

[mm] sin^2(x) [/mm]

>  
> Was ist  [mm]g \circ f[/mm] ?
>  

[mm] sin(x^2) [/mm]
also somit nicht das gleiche ?!

> FRED
>  >  Das wäre nett!
>  


Bezug
                        
Bezug
Kompositionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Mi 30.10.2013
Autor: fred97


> > > Gilt für beliebige Selbstabbildungen f und g einer Menge A
> > > stets f*g= g*f ?
>  >  >  Was ich mich schon die ganze Zeit frage: Kann es
> sein,
> > > dass Selbstabbildungen nicht bijektiv sind?
> >
> > Natürlich.
>   Ich habe glaube ich die ganze Zeit Selbstabbildungen mit
> identischen Abbildungen verwechselt.
>  >  
> > > Wenn ja, ein
> > > Beispiel?
>  >  
> > [mm]A=\IR, f(x)=x^2,[/mm] f ist weder injektiv noch surjektiv
>  >  
> Das heisst, bei einer Selbstabbildung ist es nur wichtig,
> das die Zielmenge in der Definitionsmenge liegt?

Eine Selbstabbildung einer Menge A ist eine Abbildung f:A [mm] \to [/mm] A, also

   Def.-Menge = Zielmenge


> Also wenn
> die Definitionsmenge [mm]\IR[/mm] ist, muss die Zielmenge auch in
> [mm]\IR[/mm] liegen?
>  >

> > >  Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige

> > > Aufgabenstellung? ;)
>  >  
> > Was ist mit f*g genau gemeint ? Ich vermute  die
> > Komposition (Verkettung) von Funktionen, also [mm]f \circ g[/mm].
>  
> >  

> > Nimm wieder [mm]A=\IR f(x)=x^2[/mm] und g(x)=sin(x)
>  >  
> > Was ist  [mm]f \circ g[/mm] ?
>  [mm]sin^2(x)[/mm]

ja


>  >  
> > Was ist  [mm]g \circ f[/mm] ?
>  >  
> [mm]sin(x^2)[/mm]

Ja


>   also somit nicht das gleiche ?!

Ja

FRED


>  > FRED

>  >  >  Das wäre nett!
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Kompositionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 Mi 30.10.2013
Autor: ElizabethBalotelli


> > > > Wenn ja, ein
> > > > Beispiel?
>  >  >  
> > > [mm]A=\IR, f(x)=x^2,[/mm] f ist weder injektiv noch surjektiv
>  >  >  
> > Das heisst, bei einer Selbstabbildung ist es nur wichtig,
> > das die Zielmenge in der Definitionsmenge liegt?
>
> Eine Selbstabbildung einer Menge A ist eine Abbildung f:A
> [mm]\to[/mm] A, also
>  
> Def.-Menge = Zielmenge

Dann verstehe ich aber dein Beispiel nicht. Wir bilden vom [mm] \IR [/mm] mit der Funktionsvorschrift [mm] x^2 [/mm] ab, aber die Zielmenge die wir erreichen, ist dann doch nur [mm] \IR \ge0 [/mm] also nicht Definitionsmenge=Zielmenge sondern Zielmenge nur Teil der Definitionsmenge, oder?

>  
>
> > Also wenn
> > die Definitionsmenge [mm]\IR[/mm] ist, muss die Zielmenge auch in
> > [mm]\IR[/mm] liegen?
>  >  >

> > > >  Und kann mir jemand einen Tipp geben für die obige

> > > > Aufgabenstellung? ;)
>  >  >  
> > > Was ist mit f*g genau gemeint ? Ich vermute  die
> > > Komposition (Verkettung) von Funktionen, also [mm]f \circ g[/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > Nimm wieder [mm]A=\IR f(x)=x^2[/mm] und g(x)=sin(x)
>  >  >  
> > > Was ist  [mm]f \circ g[/mm] ?
>  >  [mm]sin^2(x)[/mm]
>  
> ja
>  
>
> >  >  

> > > Was ist  [mm]g \circ f[/mm] ?
>  >  >  
> > [mm]sin(x^2)[/mm]
>  
> Ja
>  
>
> >   also somit nicht das gleiche ?!

>  
> Ja
>  
> FRED
>  
>
> >  > FRED

>  >  >  >  Das wäre nett!
> > >  

> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
Kompositionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:14 Mi 30.10.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Dann verstehe ich aber dein Beispiel nicht. Wir bilden vom
> [mm]\IR[/mm] mit der Funktionsvorschrift [mm]x^2[/mm] ab, aber die Zielmenge
> die wir erreichen, ist dann doch nur [mm]\IR \ge0[/mm] also nicht
> Definitionsmenge=Zielmenge sondern Zielmenge nur Teil der
> Definitionsmenge, oder?

Du verwechselt zwei elementare Dinge: die Zielmenge, oft auch Wertemenge genannt mit der Bildmenge, in der Schule oft als Wertebereich bezeichnet.

In FRED's Beispiel ist die Bildmenge [mm] \IR_{0}^{+}, [/mm] die Zielmenge hat er ja gerade, um ein Gegenbeispiel zu haben, mit [mm] \IR [/mm] festgelegt!


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Kompositionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:30 Mi 30.10.2013
Autor: ElizabethBalotelli

aaaah danke, mir geht ein Licht auf =) Vielen dank euch beiden!

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