Kompositionsreihe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 So 22.05.2005 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe mir Definitionen erarbeitet. Vielleicht mag mir jemand sagen, ob und wenn ja, wo Fehler sind. Danke!
Eine Kette [mm] $(G_i)_{i \in \IN}$ [/mm] heißt eine absteigende Gruppenkette, wenn alle [mm] $G_i$ [/mm] Gruppen sind und [mm] $G_1 \supset G_2 \supset [/mm] ... $ gilt.
So eine Gruppenkette heißt normal, wenn [mm] $G_{i+1} \lhd G_i$ $\forall [/mm] i$.
Dann heißen die [mm] $G_i [/mm] / [mm] G_{i+1}$ [/mm] Faktoren der Reihe.
Eine Normalreihe heißt Kompositionsreihe, wenn alle Faktoren einfache Gruppen sind.
Wie kann ich denn nun zeigen, dass eine abelsche Gruppe, die eine Kompositionsreihe besitzt, endlich ist?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 So 22.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
Ist
[mm] $G=G_1 \cup \ldots \cup G_m=\{id\}$
[/mm]
eine Kompositionsreihe einer abelschen Gruppe $G$, dass ist [mm] $G_{m-1}$ [/mm] eine einfache abelsche Gruppe, also zyklisch mit einer endlichen (primen) Ordnung.
Ebenso sind die [mm] $G_i/G_{i+1}$ [/mm] einfach und abelsch, also zyklisch (und haben daher eine (endliche) Primzahlordnung).
Es folgt:
$|G| = [mm] |G:G_1| \cdot |G_1:G_2| \cdot \ldots \cdot |G_{m-2} [/mm] : [mm] G_{m-1}| \cdot |G_{m-1}| [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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