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| Aufgabe | | Stellen Sie die Multiplikation in [mm] \IR [/mm] als Funktionsvorschrift dar und berechnen Sie die absolute- sowie relative Kondition! |
Moin, ich beschäftige mich mit dieser Aufgabe, die ich in einem Buch gefunden habe ohne Lösung.
Meine Rechnung: [mm] f:\IR^2\to\IR, [/mm] f(x,y)=x*y
Definiert haben wir in der Vorlesung [mm] \kappa_{abs}:=\|f'(x)\|
[/mm]
Wie ist das auf [mm] \IR^n [/mm] definiert?
Muss ich nun hier die 2-Norm nehmen, da ich von [mm] \IR^2\to\IR [/mm] gehe?
[mm] \kappa_{abs}=\|f'(x,y)\|_2=\|(x*y)'\|_2=\|(y,x)\|_2=(x^2+y^2)^{1/2}
[/mm]
Normen sind doch in [mm] \IR^n [/mm] äquivalent, also ginge auch folgendes?
[mm] \kappa_{abs}=\|f'(x,y)\|_1=\|(y,x)\|_1=x+y [/mm] ... Leider klappt das nicht
Also nochmal meine Frage: Muss ich die 2-Norm eigentlich nehmen oder geht das hier nur, weil wir von [mm] \IR^n\to\IR^1 [/mm] gehen?
Weiter [mm] \kappa_{rel}=\bruch{\|f'(x)\|\|x\|}{\|f(x)\|}
[/mm]
Die gleiche Frage wie oben. Wie geht das im [mm] \IR^n [/mm] ?
Danke!
LG Björn
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Moin, ein kleiner Push, da ich nach wie vor damit kaempfe 
Lg Bjoern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mo 27.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Guten Morgen!
Ich habe das leider noch immer nicht verstanden und hoffe auf Aufklärung.
Ich kopiere mein Anliegen hier rein, damit man nicht hin und her muss:
| Aufgabe | | Stellen Sie die Multiplikation in [mm] \IR [/mm] als Funktionsvorschrift dar und berechnen Sie die absolute- sowie relative Kondition! |
Moin, ich beschäftige mich mit dieser Aufgabe, die ich in einem Buch gefunden habe ohne Lösung.
Meine Rechnung: [mm] f:\IR^2\to\IR, [/mm] f(x,y)=x*y
Definiert haben wir in der Vorlesung [mm] \kappa_{abs}:=\|f'(x)\| [/mm]
Wie ist das auf [mm] \IR^n [/mm] definiert?
Muss ich nun hier die 2-Norm nehmen, da ich von [mm] \IR^2\to\IR [/mm] gehe?
[mm] \kappa_{abs}=\|f'(x,y)\|_2=\|(x*y)'\|_2=\|(y,x)\|_2=(x^2+y^2)^{1/2} [/mm]
Normen sind doch in [mm] \IR^n [/mm] äquivalent, also ginge auch folgendes?
[mm] \kappa_{abs}=\|f'(x,y)\|_1=\|(y,x)\|_1=x+y [/mm] ... Leider klappt das nicht
Also nochmal meine Frage: Muss ich die 2-Norm eigentlich nehmen oder geht das hier nur, weil wir von [mm] \IR^n\to\IR^1 [/mm] gehen?
Weiter [mm] \kappa_{rel}=\bruch{\|f'(x)\|\|x\|}{\|f(x)\|} [/mm]
Die gleiche Frage wie oben. Wie geht das im [mm] \IR^n [/mm] ?
Danke!
LG, Björn
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Nabend!
Ist meine Frage nicht präzise genug gestellt?
Ich komme leider noch immer nicht weiter damit.
Liebe Grüße
Björn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Björn,
Deine Vorgehensweise ist richtig und gilt auch im [mm] \IR^n.
[/mm]
Sei [mm] 0\not=\Phi\in C^1(\IR^n), [/mm] dann gilt:
Die absolute Relation ist gegeben durch:
[mm] \kappa_{\text{abs}}=\|D\Phi\|
[/mm]
Die relative Relation ist gegeben durch:
[mm] \kappa_{\text{rel}}=\frac{\|D\Phi\|\|(x_1,x_2,\ldots,x_n)\|}{\|\Phi\|}
[/mm]
Kommen wir nun zu deiner Aufgabe.
Zunächst hast du durch die Abbildung
[mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] mit $f(a,b)=a*b$
eine gute Wahl getroffen.
Alle Normen auf [mm] \IR^n [/mm] sind äquivalent!
Die Wahl der Norm wird entweder durch die Aufgabe
oder durch deine Wahl getroffen.
Das ist wie bei der Kondition einer Matrix $A$
und genau das benötigst du hier auch!
Mit der Änderung der Norm ändert sich das Ergebnis,
aber nicht die Interpretation des Ergebnisses!
Gehen wir das doch mal durch mit [mm] \|*\|_{\eta} [/mm] mit [mm] \eta\in\{1,2\}.
[/mm]
Für die absolute Kondition gilt:
[mm] \kappa_{\test{abs}}=\|Df\|_1=\|\vektor{b & a}\|_1=\max\{|b|,|a|\}
[/mm]
[mm] \kappa_{\test{abs}}=\|Df\|_2=\|\vektor{b & a}\|_2=|b|+|a|
[/mm]
Da wir Beträge erhalten genügen folgende Fälle:
Setze Max eine sehr große und Min eine sehr kleine nicht-negative Zahl.
1. $a,b$ groß, dann erhalten wir für beide Normen Max.
2. $a,b$ klein, dann erhalten wir für beide Normen Min.
3. Wenn entweder $a$ oder $b$ sehr klein und das andere sehr groß, dann erhalten wir für beide Normen Max.
Nun kannst du dich selber davon erzeugen,
dass wir durch unterschiedliche Normen unterschiedliche Ergebnisse,
aber das gleiche Resultat erhalten haben.
Wir erhalten, dass das Problem nur dann gut konditioniert ist, falls $a,b$ klein sind.
Das machst du nun auch mit der relativen Kondition!
Du kannst dir übrigens auch mal die Aufgabe stellen,
die absolute- sowie relative Kondition der Addition in [mm] \IR [/mm] darzustellen.
Gruß
DieAcht
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Guten Morgen, ich danke Dir für deine sehr ausführliche Erklärung. Ich habe es verstanden!
LG, Björn
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