Kondition mit Singulärwerten < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Gegeben ist eine Matrix A und die Singulärwerte [mm] s_{1} \ge s_{2} \ge s_{3} \ge [/mm] ... [mm] \ge s_{p} [/mm] > 0.
Ich habe vergeblich versucht zu zeigen, dass
[mm] ||A||_{2,2} ||(A^{T}A)^{-1} A^{T}||_{2,2} [/mm] = [mm] \bruch{s_{1}}{s_{p}} [/mm] = [mm] cond_{2}(A)
[/mm]
gilt. Ich habe bereits gezeigt, dass die Singulärwerte von A genau die Wurzel der positiven Eigenwerte von [mm] A^{T}A [/mm] sind. Somit gilt:
[mm] \lambda_{max}(A^{T}A) [/mm] = [mm] s_{1}^{2}
[/mm]
[mm] \lambda_{min}(A^{T}A) [/mm] = [mm] s_{p}^{2}
[/mm]
Aber den Aufgabenteil oben habe ich bis jetzt leider :-( nicht hinbekommen. Kann mit einer von euch helfen? (Aber bitte so, dass ich Ersti es auch verstehe ;)
Vielen Dank, Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Do 09.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Thomas!
Aber du hattest das Problem doch schon gelöst? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Schau dir mal die Singulärwertzerlegung von $A^+$ an. Du siehst doch, dass auf der Diagonalen genau die Reziproken der Diagonalelemente der Singulärwertzerlegung von $A$ stehen.
Die Quadrate der Diagonalelemente der Singulärwertzerlungung von $A$ sind die Eigenwerte von $A^TA$ (bzw. die Quadrate der Diagonalelemente der Singulärwertzerlegung von $A^+$ sind die Eigenwerte von $(A^+)^TA^+$). Der größte Eigenwert von $(A^+)^TA^+$ entspricht also gerade dem Reziproken des kleinsten Eigenwertes von $A^TA$. Daher gilt:
[mm] $\Vert [/mm] A^+ [mm] \Vert_{2,2} [/mm] = [mm] \sqrt{ \lambda_{\max}((A^+)^TA^+)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{\lambda_{\min}((A)^TA)}}$,
[/mm]
woraus die Behauptung folgt.
Viele Grüße
Stefan
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