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ich würde gerne die relativen Konditionszahlen von z1:=cos(x-y) berechnen.
Dafür definier ich mir
f1(x,y)=(x-y) und f2(x)=cos(x)
Wenn ich jetzt die relativen Konditionszahlen von f1 berechne erhalte ich [mm] \rho [/mm] f1 (x,y)= [mm] x/(x-y)*\rho [/mm] x - [mm] y/(x-y)*\rho [/mm] y, was schlecht ist wenn x ~= y ist. Aber wenn x ~= y ist, dann ist der cos gut konditioniert. Was kann ich dann über das Gesamtproblem sagen?
Wenn man alternativ z2:=cos(x)cos(y)+sin(y)sin(y) betrachtet für x ~= y ist die Additon ja gut konditioniert(2 positive zahlen), die Multiplikation sowieso, aber für die x, für die der sinus gut konditioniert ist, ist der cosinus schlecht konditioniert. Nu ich weiss ich auch hier nicht, wie nun das Gesamtproblem z2 konditioniert ist.
Kann mir wer helfen?
Grüße, Numeriker
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=55635
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Hallo Numeriker,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> berechne erhalte ich [mm]\rho[/mm] f1 (x,y)= [mm]x/(x-y)*\rho[/mm] x -
> [mm]y/(x-y)*\rho[/mm] y, was schlecht ist wenn x ~= y ist.
vor dem 2.Bruch muß imho ein + stehen.
> x ~= y ist, dann ist der cos gut konditioniert. Was kann
> ich dann über das Gesamtproblem sagen?
Du hast jetzt die Kondition der Subtraktion bestimmt. Diese jetzt in die Konditionsberechnung des cos noch einsetzen und das Gesamtergebnis betrachten.
> Wenn man alternativ z2:=cos(x)cos(y)+sin(y)sin(y)
> betrachtet für x ~= y ist die Additon ja gut
> konditioniert(2 positive zahlen), die Multiplikation
> sowieso, aber für die x, für die der sinus gut
> konditioniert ist, ist der cosinus schlecht konditioniert.
> Nu ich weiss ich auch hier nicht, wie nun das Gesamtproblem
> z2 konditioniert ist.
Hier solltest Du mal sukzessive einsetzen. erst die Kondition des sin , cos bestimmen und das dann in die Formel für die Kondition der Addition einsetzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hi Mathemaduenn,
vielen Dank für die Antwort, mit der ich eigentlich ehrlich gesagt nicht gerechnet habe :)
Bei dem + bin ich mir nicht so sicher, also ausführlich steht da ja:
f1(x,y)=(x-y)
[mm] \rho [/mm] f1 = 1*x/(x-y) [mm] \rho [/mm] x + (-1*y/(x-y)) [mm] \rho [/mm] y, also müsste da doch ein Minus hin, oder wo ist mein Denkfehler?
So und nun zu dem Einsetzen, genau da hakt es, weil das meine erste Aufgabe ist mit einer verketteten Funktion. Ich habe ja jetzt jeweils beide Konditionszahlen:
[mm] \rho [/mm] f1 = 1*x/(x-y) [mm] \rho [/mm] x - (1*y/(x-y)) [mm] \rho [/mm] y //bzw. ein + in der Mitte
[mm] \rho [/mm] f2 = -tan(x)*x [mm] \rho [/mm] x
Und wie setze ich jetzt was wo ein? Das ist genau DER Punkt, wo ich nicht weiter weiß.
Grüße, Numeriker
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Hallo Numeriker,
> Hi Mathemaduenn,
>
> vielen Dank für die Antwort, mit der ich eigentlich ehrlich
> gesagt nicht gerechnet habe :)
>
> Bei dem + bin ich mir nicht so sicher, also ausführlich
> steht da ja:
> f1(x,y)=(x-y)
> [mm]\rho[/mm] f1 = 1*x/(x-y) [mm]\rho[/mm] x + (-1*y/(x-y)) [mm]\rho[/mm] y, also
> müsste da doch ein Minus hin, oder wo ist mein Denkfehler?
Letztlich interessieren natürlich nur die Beträge. Das war meine Idee dabei, also eigentlich müsste imho dastehen:
[mm]\rho f_1 = \left|\bruch{1*x}{x-y}\right| \rho x + \left|\bruch{-y}{x-y}\right|\rho y[/mm]
Aber Du kannst die Beträge natürlich auch zum Schluß nehmen.
> [mm]\rho[/mm] f1 = 1*x/(x-y) [mm]\rho[/mm] x - (1*y/(x-y)) [mm]\rho[/mm] y //bzw. ein
> + in der Mitte
> [mm]\rho[/mm] f2 = -tan(x)*x [mm]\rho[/mm] x
Beim 2. hätte ich was anderes
[mm]\rho f_2 = -tan(x) \rho x[/mm]
Wenn man jetzt für x das einsetzt was eigentlich interessiert würde man die Gesamtformel erhalten.
[mm]\rho f_2 = -tan(f_1) \rho f_1[/mm]
Damit hättest Du den Fehler von [mm] f_2 [/mm] in abhängigkeit von [mm] \rho [/mm] x und [mm] \rho [/mm] y dargestellt.
Dann kannst Du natürlich noch [mm]x-y \to 0[/mm] betrachten.
Wenn Du das für die andere Funktion auch so machst kannst Du die Methoden vergleichen.
viele Grüße
mathemaduen
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Hi Mathemaduenn,
okay, das mit den Betragssrichen ist mir klar, aber warum fällt das x bei dir weg, man muss die absolute Konditionszahl ja nochmal mit x multiplizieren und durch die Funktion teilen, dacht ich zumindest also [mm] \rho [/mm] f2 = -sin'(x)*x/cos(x), so sagt es doch die Formel, wir haben ja bei der Subtraktion in den Zählern ja auch noch ein x bzw. ein y stehen.
Ok, wenn ich das dann einsetze hab ich ja sowas wie 0* [mm] \infty [/mm] stehen ?
Grüße, Numeriker
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Hallo Numeriker,
> okay, das mit den Betragssrichen ist mir klar, aber warum
> fällt das x bei dir weg, man muss die absolute
> Konditionszahl ja nochmal mit x multiplizieren und durch
> die Funktion teilen, dacht ich zumindest also [mm]\rho[/mm] f2 =
> -sin'(x)*x/cos(x), so sagt es doch die Formel, wir haben ja
> bei der Subtraktion in den Zählern ja auch noch ein x bzw.
> ein y stehen.
Oh ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Haste Recht.
> Ok, wenn ich das dann einsetze hab ich ja sowas wie 0*
> [mm]\infty[/mm] stehen ?
Wenn Du hier ein wenig rauskürzt bleibt imho in etwa 0*(|x|+|y|) stehen. Sprich das von Dir prognostizierte gutmütige Verhalten.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hi,
also cos(x-y) glaub ich jetzt gelöst zu haben mit dem von dir ewähtem Ergebnis. Allerdings hab ich beim Rechnen der Konditionszhal von [mm] c_{2}(x,y):=cos(x)cos(y)+sin(x)*sin(y) [/mm] arghe Probleme.
Wäre cool wenn du mir da evtl. noch ein wenig helfen könntest. Ich hab es hier ebenfalls mit der Kettenregel versucht, allerdings scheiterts bei mir daran, dass ich erst die Konditionszahlen vom cos berechnet habe und diese jetzt in die Funktion "Multiplikation" reinstecken will, nur da brauch ich ja zwei Argumente für, aus dem cos, gewinn ich aber nur eins. Wahrscheinlich ist das schon falsch was ich gemacht hab. Meinst du, du könntest mir hier auch mal den Ansatz posten?
Grüße, Num.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 03.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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