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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zum Konfigurationsraum. Dieser ist wie folgt definiert:
[mm] \Gamma [/mm] := [mm] \{ \gamma \subset \IR^d | \forall K \subset \IR^d kompakt: \# (\gamma \cap K) < \infty \}.
[/mm]
Behauptung: Jedes [mm] \gamma \in \Gamma [/mm] ist leer, endlich oder abzählbar unendlich.
Meine Frage: Die ersten beiden Möglichkeiten sind klar. Aber wenn [mm] \gamma [/mm] unendlich viele Punkte hat, wieso müssen es dann abzählbar viele sein?
Anmerkung: Ich betrachte den euklidischen [mm] \IR^d.
[/mm]
Bin für Hilfe dankbar.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mo 26.09.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich habe eine Frage zum Konfigurationsraum. Dieser ist wie
> folgt definiert:
>
> [mm]\Gamma[/mm] := [mm]\{ \gamma \subset \IR^d | \forall K \subset \IR^d kompakt: \# (\gamma \cap K) < \infty \}.[/mm]
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> Behauptung: Jedes [mm]\gamma \in \Gamma[/mm] ist leer, endlich oder
> abzählbar unendlich.
>
> Meine Frage: Die ersten beiden Möglichkeiten sind klar.
> Aber wenn [mm]\gamma[/mm] unendlich viele Punkte hat, wieso müssen
> es dann abzählbar viele sein?
sei [mm] K_n [/mm] die kompakte Kugel um 0 mit Radius n. Dann ist [mm] \gamma [/mm] gerade die Vereinigung der Mengen [mm] \gamma \cap K_n.
[/mm]
fred
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> Anmerkung: Ich betrachte den euklidischen [mm]\IR^d.[/mm]
>
> Bin für Hilfe dankbar.
>
> Grüße
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> sei [mm]K_n[/mm] die kompakte Kugel um 0 mit Radius n. Dann ist
> [mm]\gamma[/mm] gerade die Vereinigung der Mengen [mm]\gamma \cap K_n.[/mm]
>
> fred
Jedes [mm] \gamma \cap K_n [/mm] hat dann ja nach Definition endlich viele Punkte.
Argumentierst du dann so, dass eine abzählbare Vereinigung von Mengen mit endlich vielen Punkten wieder abzählbar sein muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 26.09.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Die_Suedkurve!
> > sei [mm]K_n[/mm] die kompakte Kugel um 0 mit Radius n. Dann ist
> > [mm]\gamma[/mm] gerade die Vereinigung der Mengen [mm]\gamma \cap K_n.[/mm]
> Jedes [mm]\gamma \cap K_n[/mm] hat dann ja nach Definition endlich
> viele Punkte.
> Argumentierst du dann so, dass eine abzählbare
> Vereinigung von Mengen mit endlich vielen Punkten wieder
> abzählbar sein muss?
Genau.
Viele Grüße
Tobias
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Okay, dann weiß ich Bescheid. Danke euch beiden.
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