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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:55 Sa 15.03.2014 | | Autor: | Mesos |
| Aufgabe | Sei x ungerade ganze Zahl
a) [mm] x^4 [/mm] kongruent 1 mod16
b)b kongruent c mod4 -> [mm] a^b [/mm] kongruent [mm] a^c [/mm] mod16 |
a)
Dafür habe ich einfach mal die erste ungerade Zahl gewählt, also drei.
Ich weiß, dass man es als 16 | [mm] x^4-1 [/mm] schreiben kann und dies als
[mm] x^4=16k+1
[/mm]
Für drei gilt das, genauso für alle anderen ungeraden x´s.
Wie genau zeige ich nun, dass dies gilt? Induktion? (Jedoch haben wir in der VO noch keine Induktion gemacht, daher ist sie wohl unerwünscht.)
Zu b habe ich leider keinen Einfall.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 Sa 15.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 schreib dein [mm] x^4-1 [/mm] mal mit binomischen Formeln um
zu 2 folgt als 1, wenn du b=n*4+c schreibst und a benutzt.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 15.03.2014 | | Autor: | Mesos |
Ich muss zugeben, dass ich keine Ahnung habe wie ich mit deinem Tipp weitermachen soll.
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Hallo Mesos,
was hast Du denn bisher versucht?
> Ich muss zugeben, dass ich keine Ahnung habe wie ich mit
> deinem Tipp weitermachen soll.
Na, die Aufgabe war doch: sei [mm] a\equiv 1\bmod{2}. [/mm] Zeige
a) [mm] x^4\equiv 1\bmod{16}\;\gdw\;x^4-1\equiv 0\bmod{16}
[/mm]
So, nach dieser kleinen Umformung mal den Tipp angewandt:
[mm] x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x+1)(x-1)(x^2+1)
[/mm]
So. Jetzt setzen wir mal $a=2k+1$ ein, mit [mm] k\in\IZ.
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^4-1=(2k+2)*2k*(4k^2+4k+2)
[/mm]
Die Frage ist jetzt: ist das wirklich durch 16 teilbar, also [mm] \equiv 0\bmod{16}?
[/mm]
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 16.03.2014 | | Autor: | Mesos |
Ahh, ich habe gar nicht daran gedacht, es auf 0 umzurschreiben.
Naja, wenn ich die Produkte einzeln ansehe, dann sehe ich, dass ich das k so wählen kann, dass bei mod16=0 rauskommt.
Und soweit ich mich erinnere, kann ich bei einer Multiplikation die einzelnen Terme ansehen und wenn auf alle das gleiche zutrifft auf den ganzen Term schließen.
Also, ja.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mo 17.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst k nicht wählen, das muss für ALLE k stimmen.
Gruß leduart
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