Kongruenz hat keine Lösung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] $a^2+1\equiv [/mm] 0 [mm] \mod 2^k$ [/mm] für [mm] $k\geq [/mm] 2$ keine Lösung hat. |
In meinem Skript steht, dass dies trivial sei. Auf den ersten Blick sehe ich dies allerdings nicht. Zu zeigen ist ja, dass [mm] $2^k$ [/mm] kein Teiler von [mm] $a^2+1$ [/mm] ist. Ist das wirklich so leicht zu sehen?
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Hallo,
> Zeige, dass [mm]a^2+1\equiv 0 \mod 2^k[/mm] für [mm]k\geq 2[/mm] keine
> Lösung hat.
> In meinem Skript steht, dass dies trivial sei. Auf den
> ersten Blick sehe ich dies allerdings nicht. Zu zeigen ist
> ja, dass [mm]2^k[/mm] kein Teiler von [mm]a^2+1[/mm] ist. Ist das wirklich so
> leicht zu sehen?
Ja, ist es.
Wann ist [mm] a^2+1\equiv 0\bmod{4} [/mm] ?
Grüße
reverend
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Laut dem zu Zeigendem nie. Aber wie kann ich das am Besten formal aufschreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Di 09.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Laut dem zu Zeigendem nie. Aber wie kann ich das am Besten
> formal aufschreiben?
Fallunterscheidung: a lässt bei Teilung durch 4 den Rest 0 oder 1 oder 2 oder 3.
Welchen Rest lässt dann [mm] $a^2$?
[/mm]
Welchen Rest lässt dann [mm] $a^2+1$?
[/mm]
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Vielen Dank, mit der Fallunterscheidung sieht man, dass immer Rest bleibt. Warum das für Allgemeines [mm] $2^k$ [/mm] trivial ist, sehe ich jedoch nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Di 09.12.2014 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Vielen Dank, mit der Fallunterscheidung sieht man, dass
> immer Rest bleibt.
Eben.
> Warum das für Allgemeines [mm]2^k[/mm] trivial
> ist, sehe ich jedoch nicht.
Hm. Jetzt mal ehrlich...
Für [mm] k\ge{2} [/mm] ist [mm] 2^k [/mm] sicher durch 4 teilbar.
Grüße
reverend
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Aja, klar. Danke nochmals! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Di 09.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank, mit der Fallunterscheidung sieht man, dass
> immer Rest bleibt. Warum das für Allgemeines [mm]2^k[/mm] trivial
> ist, sehe ich jedoch nicht.
Hallo,
ab k=2 ist [mm] $2^k$ [/mm] immer ein Vielfaches von 4.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Klar dürfte sein, dass eine ungerade Zahl nicht durch [mm] 2^k [/mm] teilbar ist (k [mm] \ge [/mm] 1).
Fall 1: a ist gerade, also von der Form a=2k. Dann ist [mm] a^2+1=4k^2+1. [/mm]
[mm] a^2+1 [/mm] ist also ungerade. Fertig.
Fall 2: a ist ungerade, also von der Form a=2k+1. Dann ist
[mm] a^2+1=2(2k^2+2k+1).
[/mm]
[mm] a^2+1 [/mm] ist also durch 2 teilbar. Da [mm] 2k^2+2k+1 [/mm] ungerade ist, ist [mm] a^2+1 [/mm] für kein k [mm] \ge [/mm] 2 teilbar durch [mm] 2^k.
[/mm]
FRED
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