Kongruenzbeweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 04.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Ich möchte folgende Aussage beweisen:
[mm] \vektor{p \\ v}\equiv(-1)^{v+1}*\bruch{p}{v} [/mm] mod p²
für [mm] v\ge [/mm] 1
Habe bewiesen, dass [mm] \vektor{p-1 \\ v}\equiv (-1)^v [/mm] mod p für [mm] 0\le [/mm] v<p gilt.
Hilft mir das irgendwie weiter?
Zur Erinnerung: Seien [mm] r,s\in \IQ,p\in\IP. [/mm] Dann bedeutet: [mm] r\equiv [/mm] s mod p, wenn im gekürzten Bruch von r-s der Zähler durch p teilbar ist.
Würde mich über Tipps von euch freuen!
Danke!
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Do 04.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Fry!
> Hallo !
>
> Ich möchte folgende Aussage beweisen:
>
> [mm]\vektor{p \\ v}\equiv(-1)^{v+1}*\bruch{p}{v}[/mm] mod p²
> für [mm]v\ge[/mm] 1
> Habe bewiesen, dass [mm]\vektor{p-1 \\ v}\equiv (-1)^v[/mm] mod p
> für [mm]0\le[/mm] v<p gilt.
> Hilft mir das irgendwie weiter?
Ich denke schon: [mm]\vektor{p \\ v} = \bruch{p}{p-v} \vektor{p-1 \\ v} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 04.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Rainer,
vielen Dank für deine Antwort.
Könntest du mir nochmal weiterhelfen?
Würde dann mit der Kongruenz [mm] \bruch{p}{p-v}\equiv \bruch{-p}{v}mod [/mm] p "multiplizieren", aber ich weiß nicht mal ob die gilt bzw. für [mm] v\ge [/mm] p dürfte sie nicht mehr gelten. Wie komm ich dann weiter ?
VG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Fr 05.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Fry!
> Hi Rainer,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
> Könntest du mir nochmal weiterhelfen?
> Würde dann mit der Kongruenz [mm]\bruch{p}{p-v}\equiv \bruch{-p}{v}mod[/mm]
> p "multiplizieren", aber ich weiß nicht mal ob die gilt
Nein, ganz so einfach ist es nicht, denn wegen des Faktors p im Zähler sind beide Seiten [mm] $\equiv 0\pmod{p}$. [/mm] Aber es ist [mm] $\bruch{1}{p-v} \equiv [/mm] - [mm] \bruch{1}{v} \pmod{p}$, [/mm] denn wenn ich [mm] $x_1:= \bruch{1}{p-v} \pmod{p}$ [/mm] und [mm] $x_2:= \bruch{-1}{v} \pmod{p}$ [/mm] setze, dann ist per Definition:
[mm] x_1*(p-v) \equiv 1 \pmod{p} [/mm] und [mm] x_2*(-v)\equiv 1 \pmod{p} [/mm].
Die erste der beiden Kongruenzen vereinfacht sich zu [mm] $x_1*(-v) \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p} [/mm] $, und da p eine Primzahl ist, ist das Inverse [mm] $\pmod{p}$ [/mm] eindeutig bestimmt, also ist [mm] $x_1\equiv x_2 \pmod{p}$.
[/mm]
Wenn du nun mit p multiplizierst, gilt [mm]\bruch{p}{p-v}\equiv \bruch{-p}{v}\pmod{p^2}[/mm].
> bzw. für [mm]v\ge[/mm] p dürfte sie nicht mehr gelten. Wie komm ich
> dann weiter ?
Für v=p ist [mm] $\vektor{p \\ p} [/mm] =1$, und die Identität ist offensichtlich erfüllt. Für $v>p$ ist der Binomialkoeffzient [mm] $\vektor{p \\ v} [/mm] =0$, wie die Identität dann überhaupt gelten soll, weiss ich nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hi!
> > Würde dann mit der Kongruenz [mm]\bruch{p}{p-v}\equiv \bruch{-p}{v}mod[/mm]
> > p "multiplizieren", aber ich weiß nicht mal ob die gilt
>
> Nein, ganz so einfach ist es nicht, denn wegen des Faktors
> p im Zähler sind beide Seiten [mm]\equiv 0\pmod{p}[/mm]. Aber es ist
> [mm]\bruch{1}{p-v} \equiv - \bruch{1}{v} \pmod{p}[/mm], denn wenn
> ich [mm]x_1:= \bruch{1}{p-v} \pmod{p}[/mm] und [mm]x_2:= \bruch{-1}{v} \pmod{p}[/mm]
> setze, dann ist per Definition:
>
> [mm]x_1*(p-v) \equiv 1 \pmod{p}[/mm] und [mm]x_2*(-v)\equiv 1 \pmod{p} [/mm].
>
> Die erste der beiden Kongruenzen vereinfacht sich zu
> [mm]x_1*(-v) \equiv 1 \pmod{p} [/mm], und da p eine Primzahl ist,
> ist das Inverse [mm]\pmod{p}[/mm] eindeutig bestimmt, also ist
> [mm]x_1\equiv x_2 \pmod{p}[/mm].
>
> Wenn du nun mit p multiplizierst, gilt [mm]\bruch{p}{p-v}\equiv \bruch{-p}{v}\pmod{p^2}[/mm].
ok, danke, aber letztenendes "multipliziere" ich aber dann doch diese Gleichung mit der bereits bewiesenen oder ? dein "ist doch nicht so einfach" hat mich etwas irritiert : )
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Fr 05.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Fry!
> ok, danke, aber letztenendes "multipliziere" ich aber dann
> doch diese Gleichung mit der bereits bewiesenen oder ?
Ja.
> dein
> "ist doch nicht so einfach" hat mich etwas irritiert : )
Damit meinte ich den Übergang von [mm] $\pmod{p}$ [/mm] auf [mm] $\pmod{p^2}$. [/mm] Die Gleichung ist trivial als Kongruenz [mm] $\pmod{p}$, [/mm] da auf beiden Seiten ein Faktor p steht.
Viele Grüße
Rainer
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