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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Ich hätte gleich noch eine Frage:
Folgende Kongruenzen sind in [mm]\IZ[/mm] zu lösen:
a) [mm]12x \equiv 3 (mod 18)[/mm]
b) [mm]12x \equiv 3 (mod 13)[/mm]
c) [mm]x^{2} \equiv 3 (mod 18)[/mm]
Ich weiß nicht genau, was zu tun ist, aber ein Anfang wäre mal folgendes:
a) läßt sich vereinfachen zu [mm]4x \equiv 1 (mod 6)[/mm]. als nächsten schritt müßte man mit dem Inversen von 4 mod 6 multiplizieren, dieses existiert aber nicht, daher unlösbar
b) mit dem Inversen von 12 mod 13 multipliziert erhält man [mm]x \equiv 2 (mod 13)[/mm]
c) wäre hier nicht [mm]x \equiv \pm \wurzel{3} (mod 18)[/mm]? In [mm]\IZ[/mm] ist [mm]\wurzel{3}[/mm] aber nicht enthalten - damit nicht lösbar?
Stimmt das? Müßte man sonst noch etwas tun?
lg
Felidae
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Guten Morgen!
> Folgende Kongruenzen sind in [mm]\IZ[/mm] zu lösen:
>
> a) [mm]12x \equiv 3 (mod 18)[/mm]
> b) [mm]12x \equiv 3 (mod 13)[/mm]
> c)
> [mm]x^{2} \equiv 3 (mod 18)[/mm]
> a) läßt sich vereinfachen zu [mm]4x \equiv 1 (mod 6)[/mm]. als
> nächsten schritt müßte man mit dem Inversen von 4 mod 6
> multiplizieren, dieses existiert aber nicht, daher unlösbar
Sehe ich ebenso... wann immer ein $x$ mit 4 multipliziert wird, ist die Lösung eine durch 4 teilbare Zahl und kann daher nie den Rest 1 bei Division durch 6 lassen.
> b) mit dem Inversen von 12 mod 13 multipliziert erhält man
> [mm]x \equiv 2 (mod 13)[/mm]
Hier mußt Du Dich verrechnet haben - wenn man zur Probe $x = 2$ einsetzt, ergibt sich 24... und 24 ist nicht kongruent 3 modulo 13 (sondern kongruent 10). 12 ist modulo 13 zu sich selbst invers und es gilt:
$x [mm] \equiv [/mm] 12 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \equiv [/mm] 36 [mm] \equiv [/mm] 10 [mm] \; [/mm] (mod [mm] \; [/mm] 13)$
> c) wäre hier nicht [mm]x\equiv \pm \wurzel{3}\; (mod\; 18)[/mm]? In [mm]\IZ[/mm] ist [mm]\wurzel{3}[/mm] aber nicht enthalten - damit nicht lösbar?
Nein, Wurzeln gibt es in diesen Ringen nicht.
Gehe lieber so vor: schaue Dir für $x [mm] \in \{1, \ldots 17 \}$ [/mm] einfach [mm] $x^2$ [/mm] modulo 18 an und prüfe, ob die 3 vorkommt. Dabei kannst Du Dich natürlich auf die ungeraden Zahlen beschränken - logisch. 
Gruß,
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 18.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Danke für Deine Antwort. Stimmt, bei Beispiel b) sollte es [mm]x \equiv 10 (mod 13)[/mm] heißen. *schäm*
Und mehr muß man bei den Beispielen nicht machen? Das ist dann schon die Lösung? Kommt mir nämlich für ein Prüfungsbeispiel wenig vor.
Dann hätte ich noch eine weitere Kongruenz: [mm]x^{2} \equiv 25 (mod 40)[/mm]. Ich würde das so lösen: [mm]x \equiv \pm 5 (mod 40) [/mm]. Das wäre dann [mm]x \equiv 5 (mod 40)[/mm] und [mm]x \equiv 35 (mod 40)[/mm]. Ist das ok so?
lg
Felidae
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Felidae!
> > Dann hätte ich noch eine weitere Kongruenz: [mm]x^{2} \equiv[/mm] 25 (mod 40). Ich würde das so lösen: x [mm]\equiv \pm[/mm] 5 (mod 40) . Das wäre dann x [mm]\equiv[/mm] 5 (mod 40) und x [mm]\equiv[/mm] 35 (mod 40). Ist das ok so?
Das sind zwei mögliche Lösungen, aber nicht alle!!!
Notwendig und hinreichend für ein $x [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $x^2 \equiv [/mm] 25 [mm] \pmod{40}$ [/mm] ist natürlich
[mm] $x^2 \equiv [/mm] 25 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{5}$
[/mm]
und
[mm] $x^2 \equiv [/mm] 25 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{8}$.
[/mm]
Die erste Gleichung wird für alle $x [mm] \in \IZ$ [/mm] erfüllt, die durch $5$ teilbar sind, die zweite Gleichung durch (und das ist auf den ersten Blick vielleicht überraschend!) alle ungeraden $x [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Daher wird $x [mm] \equiv [/mm] 25 [mm] \pmod{40}$ [/mm] von allen $x [mm] \in \IZ$ [/mm] erfüllt, die ungerade und durch $5$ teilbar sind, also von:
$x [mm] \equiv [/mm] 5 [mm] \pmod{40}$,
[/mm]
$x [mm] \equiv [/mm] 15 [mm] \pmod{40}$,
[/mm]
$x [mm] \equiv [/mm] 25 [mm] \pmod{40}$ [/mm] und
$x [mm] \equiv [/mm] 35 [mm] \pmod{40}$.
[/mm]
Probiere es ruhig aus! 
Liebe Grüße
Julius
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