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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 So 03.04.2005 | | Autor: | xnay |
Ich habe hier zwei Beispiele zu lösen und so ziemlich keine Ahnung wie ich das angehen soll ... Vielleicht kann ja jemand etwas helfen ...
Lösen Sie die folgenden Kongruenzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit.
a) [mm] x^2 [/mm] - 3x + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 5)
b) [mm] x^2 [/mm] - 3x + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 6)
Vielen Dank schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Wenn Du die Ausdrücke faktorisierst und dir Klarmachst, daß z.B. [mm] $\equiv [/mm] 0 [mm] \mod{5}$ [/mm] bedeutet, daß der entsprechende Term durch 5 teilbar ist, solltest Du recht schnell zu einem Ergebnis kommen.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 04.04.2005 | | Autor: | xnay |
Hm ... gehts vielleicht ein bissl genauer ...?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Zunächst einmal lösen wir
[mm] $x^2-3x+2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{5}$.
[/mm]
Wie von Christian angeregt, faktorisieren wir mal:
$(x-1) [mm] \cdot [/mm] (x-2) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{5}$.
[/mm]
Da $5$ prim ist, muss $5$ einen der beiden Faktoren teilen, d.h. es gilt:
$x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5}$ [/mm] oder $x [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{5}$.
[/mm]
Selbstverständlich können wir in [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] auch faktorisieren:
$(x-1) [mm] \cdot [/mm] (x-2) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{6}$.
[/mm]
Wir erhalten auch wieder die beiden Lösungen wie vorher:
$x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{6}$ [/mm] oder $x [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{6}$.
[/mm]
Aber, und jetzt kommt der Witz an der Aufgabe:
Hier gibt es halt noch mehr Lösungen!
Denn $(x-1) [mm] \cdot [/mm] (x-2) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{6}$ [/mm] kann auch bedeuten:
[mm] $2\vert [/mm] (x-1)$ und $3 [mm] \vert(x-2)$
[/mm]
oder
$3 [mm] \vert [/mm] (x-1)$ und $2 [mm] \vert [/mm] (x-2)$.
Welche Lösungen erhält man also noch?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 05.04.2005 | | Autor: | xnay |
Ja, ich weiß, dass man u.a. noch 4 und 5 als Lösung bekommt, aber wie? argh, ich kapiers ned :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 05.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Aha, du hast also eingesehen, dass
[mm] $x\equiv [/mm] 4 [mm] \pmod{6}$
[/mm]
und
$x [mm] \equiv [/mm] 5 [mm] \pmod{6}$
[/mm]
Lösungen sind.
Mehr gibt es aber nicht, da
$x [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{6}$ [/mm] und $x [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \pmod{6}$
[/mm]
die Kongruenzgleichung nicht lösen.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Di 05.04.2005 | | Autor: | xnay |
Ja, ich hab eingesehen, dass 4 und 5 lösungen sind, aber ich check noch imma ned warum/wie man drauf kommt. Das Bsp. ist mir sehr unsympatisch... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mi 06.04.2005 | | Autor: | baddi |
Hi, ich bin auch nicht so fitt in solchen Dingen... aber mir viel gerade noch ein
anderer - wohl nicht so eleganter, aber vielleicht verständlicher Ansatz ein.
Machen wir doch mal Gleichungen daraus.
f1 := (x-1)*(x-2) = 0
=> {x = 1} oder {x = 2}
f2:=(x-1)*(x-2) = 5;
=> {x = 3.79} oder {x = -.79}
f4 := (x - 1) (x - 2) = 10
=> {x = 4.70} oder x2 := {x = -1.70}
f5 := (x - 1) (x - 2) = 15
=> {x = 5.40} oder x2 := {x = -2.40}
Hmmm... Naja was bringts ?
Ich weiss auch nicht.... jedenfalls
kann man dass so nicht stehen lassen, weil die Teilweise ja ausserhalb des Zahlenbereiches sind.
Also:
f1 := (x-1)*(x-2) = 0
=> {x = 1} oder {x = 2}
f2:=(x-1)*(x-2) = 5;
=> {x = 3.79} oder {x = 4.21}
f4 := (x - 1) (x - 2) = 10
=> {x = 4.70} oder x2 := {x = 3.3}
f5 := (x - 1) (x - 2) = 15
=> {x = 0.40} oder x2 := {x = 2.60}
Kann man daraus irgendwas erkenn, keine Ahnung...
Also meine Antwort war wohl doch nicht so toll....
Also eher ein Beitrag ohne Antwort als ein Beitrag mit Antwort .
Naja, Gruß Sebastian
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