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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 15.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
| Aufgabe | | Bestimme alle durch 7 teilbaren natürlichen Zahlen, die bei Division durch 8 den Rest 1 lassen und dieselbe Endziffer haben wie ihr Quadrat. |
Hallo ihr Lieben,
ich habe eine Frage bzgl. dieser Aufgabe und zwar verstehe ich nicht wie man das letzte "dieselbe Endziffer haben wie ihr Quadrat" mathematisch formalisieren könnte..
Die anderen sind plausibel:
1.) [mm] x\equiv [/mm] 0 mod 7
2.) [mm] x\equiv [/mm] 1 mod 8
3.) ??
Hatte meinen Prof. auch schon gefragt, da er nicht so viel Zeit hatte, meinte er, dass die Ziffern 1,5,6 und 10 in Frage kommen.
Und mit 1.) und 2.)
würde dann 3.) wie folgt aussehen:
[mm] x\equiv [/mm] 1 mod 10 oder [mm] x\equiv [/mm] 5 mod 10
aber warum? Und wieso mod 10? Wie kommt man darauf? Kann mir das einer genauer erklären, bitte?
Vielen Dank!!
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Hallo
> Bestimme alle durch 7 teilbaren natürlichen Zahlen, die
> bei Division durch 8 den Rest 1 lassen und dieselbe
> Endziffer haben wie ihr Quadrat.
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich habe eine Frage bzgl. dieser Aufgabe und zwar verstehe
> ich nicht wie man das letzte "dieselbe Endziffer haben wie
> ihr Quadrat" mathematisch formalisieren könnte..
> Die anderen sind plausibel:
>
> 1.) [mm]x\equiv[/mm] 0 mod 7
> 2.) [mm]x\equiv[/mm] 1 mod 8
> 3.) ??
>
> Hatte meinen Prof. auch schon gefragt, da er nicht so viel
> Zeit hatte, meinte er, dass die Ziffern 1,5,6 und 10 in
> Frage kommen.
> Und mit 1.) und 2.)
> würde dann 3.) wie folgt aussehen:
> [mm]x\equiv[/mm] 1 mod 10 oder [mm]x\equiv[/mm] 5 mod 10
>
oder x [mm] \equiv [/mm] 6 mod 10 oder x [mm] \equiv [/mm] 0 mod 10
> aber warum? Und wieso mod 10? Wie kommt man darauf? Kann
> mir das einer genauer erklären, bitte?
>
Naja, letztlich intressiert uns ja nur die Endziffer, daher dieses modulo 10.
Wie man auf diese in Frage kommenden Endziffern kommt is einfach durchprobieren:
Zum Beispiel, Ist x [mm] \equiv [/mm] 2 mod 10 so folgt [mm] x^2 \equiv [/mm] 4 mod 10. Ist x [mm] \equiv [/mm] 4 mod 10, so folgt [mm] x^2 \equiv [/mm] 6 mod 10, damit kommen also alle Zahlen mit Endziffer 2 und 4 nicht in Frage, analog kann man zeigen, dass 3, 7,8,9 nicht als Endziffern in Frage komme.
Du musst also 4 Kongruenzgleichungssysteme lösen unter Zuhilfenahme des Chinesischen Restsatzes.
>
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 15.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
Hey, danke für die schnelle antwort...
Also auf die Endziffern bin ich auch gekommen...
Aber dieses modulo 10 verstehe ich einfach nicht und auch nicht, wie man da auf diese Form kommt. Kannst du mir das nochmal genauer erklären bitte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 So 15.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hey, danke für die schnelle antwort...
> Also auf die Endziffern bin ich auch gekommen...
> Aber dieses modulo 10 verstehe ich einfach nicht und auch
> nicht, wie man da auf diese Form kommt. Kannst du mir das
> nochmal genauer erklären bitte?
Hallo,
ein Beispiel:
34567:10=3456 Rest 7 (so würde man es in der Grundschule machen).
Auf einem etwas höheren Niveau zerlegen wir
34567=10*3456 + 7
und stellen also fest, dass 34567
1) auf 7 endet
2) bei Teilung durch 10 den Rest 7 lässt.
Die Endziffer einer Zahl entspricht also ihrem Zehnerrest.
Lutz Aufgabe sollen nur Zahlen mit solchen Endziffern (=Zehnerresten) betrachtet werden, die auch nach dem Quadrieren noch den selben Zehnerrest (=Endziffer) haben.
[mm] 1^2, 11^2, 21^2 [/mm] usw. enden alle auf 1
(da [mm] 1^2\equiv [/mm] 1 mod 10 gilt).
[mm] 2^2, 12^2, 22^2, 32^2 [/mm] ... enden nicht auf 2, sondern auf 4 (diese Zahlen kommen also für die Aufgabe nicht in Frage).
Das kann man nun für jede der 10 möglichen Endziffern untersuchen.
Mögliche Fälle sind:
[mm] 0^2\equiv [/mm] 0 mod 10
[mm] 1^2\equiv [/mm] 1 mod 10
[mm] 5^2\equiv 25\equiv [/mm] 5 mod 10
[mm] 6^2\equiv 36\equiv [/mm] 6 mod 10
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 So 15.08.2010 | | Autor: | xgizmo |
Hallo abakus,
danke sehr für die Erklärung, jetzt habe ich es verstanden :)
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