Kongruenzsystem < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob folgende Systeme von Kongruenzen lösbar sind und bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge:
[mm]25x \equiv 15 mod 120
[/mm]
[mm]42x \equiv 30 mod 18
[/mm] |
Hallo Zusammen,
ich habe noch eine Frage zu der oben stehenden Aufgabe. Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Solche Systeme von Kongruenzen kann man über den chinesischen Restsatz lösen. Voraussetzung dabei ist, dass die Modulo paarweise teilerfremd sind.
In dieser Aufgabe sind sie es nicht, da der ggT(120,18)= 6 ist - also müssen die beiden Kongruenzen reduziert werden: 120 = 20 * 6 und 18 = 3 * 6
[mm]25x \equiv 15 \mod{120}
[/mm] [mm]\Rightarrow 25x \equiv 15 \mod{6} \Rightarrow x \equiv 3 \mod{6}
[/mm]
[mm] 25x \equiv 15 \mod{20} \Rightarrow 5x \equiv 15 \mod{20}
[/mm]
und
[mm] 42x \equiv 30 \mod{18}
[/mm] [mm]\Rightarrow 42x \equiv 30 \mod{3} \Rightarrow 0x \equiv 0 \mod{3}
[/mm]
[mm]42x \equiv 30 \mod{6} \Rightarrow 0x \equiv 0 \mod{6}
[/mm]
Und jetzt irritieren mich die 0 kongruent 0 Aussagen - ansich sind die ja wahr, aber was mache ich damit? Ist damit das Kongruenzsystem nicht lösbar?
Auch hier wäre ich über Hilfe sehr dankbar!
Liebe Grüße
Adele
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Sa 26.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Prüfen Sie, ob folgende Systeme von Kongruenzen lösbar
> sind und bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge:
>
> [mm]25x \equiv 15 mod 120
[/mm]
Hallo,
das kann man zu [mm] $5x\equiv [/mm] 3 mod 24$ vereinfachen.
> [mm]42x \equiv 30 mod 18
[/mm]
Daraus wird [mm] $7x\equiv [/mm] 5 mod 3$.
Wegen $7 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 3$ und $5 [mm] \equiv [/mm] -1 mod 3$
kann man das sogar noch [mm] zu $1*x\equiv [/mm] -1 mod 3$ vereinfachen.
Ich sehe hier einen gewaltigen Widerspruch.
Gruß Abakus
>
>
> Hallo Zusammen,
> ich habe noch eine Frage zu der oben stehenden Aufgabe.
> Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Solche Systeme von Kongruenzen kann man über den
> chinesischen Restsatz lösen. Voraussetzung dabei ist, dass
> die Modulo paarweise teilerfremd sind.
> In dieser Aufgabe sind sie es nicht, da der ggT(120,18)= 6
> ist - also müssen die beiden Kongruenzen reduziert werden:
> 120 = 20 * 6 und 18 = 3 * 6
>
> [mm]25x \equiv 15 \mod{120}
[/mm] [mm]\Rightarrow 25x \equiv 15 \mod{6} \Rightarrow x \equiv 3 \mod{6}
[/mm]
>
> [mm]25x \equiv 15 \mod{20} \Rightarrow 5x \equiv 15 \mod{20}
[/mm]
>
> und
>
> [mm]42x \equiv 30 \mod{18}
[/mm] [mm]\Rightarrow 42x \equiv 30 \mod{3} \Rightarrow 0x \equiv 0 \mod{3}
[/mm]
>
> [mm]42x \equiv 30 \mod{6} \Rightarrow 0x \equiv 0 \mod{6}
[/mm]
>
> Und jetzt irritieren mich die 0 kongruent 0 Aussagen -
> ansich sind die ja wahr, aber was mache ich damit? Ist
> damit das Kongruenzsystem nicht lösbar?
>
>
> Auch hier wäre ich über Hilfe sehr dankbar!
>
> Liebe Grüße
> Adele
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
Danke für die schnelle Antwort!
Das hilft mir weiter in der Aufgabe
Allerdings bin ich bzgl. dem Reduzieren irgendwie verwirrt.. gibt es da kein allgemeines Vorgehen?
In meinem Skript hab ich das so rausgelesen, wie ich es in der Aufgabe hier versucht habe - damit haben wir in der Vorlesung einige Kongruenzsysteme gelöst. Kann ich auch einfach nach den Kürzungsregeln die einzelnen Kongruenzen kürzen, so dass die Modulo teilerfremd werden?
Liebe Grüße
Adele
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Sa 26.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Das hilft mir weiter in der Aufgabe
>
> Allerdings bin ich bzgl. dem Reduzieren irgendwie
> verwirrt.. gibt es da kein allgemeines Vorgehen?
> In meinem Skript hab ich das so rausgelesen, wie ich es in
> der Aufgabe hier versucht habe - damit haben wir in der
> Vorlesung einige Kongruenzsysteme gelöst. Kann ich auch
> einfach nach den Kürzungsregeln die einzelnen Kongruenzen
> kürzen, so dass die Modulo teilerfremd werden?
>
> Liebe Grüße
> Adele
Hallo,
ich weiß nicht, welche Kürzungsregeln du kennst.
Ich habe angewendet:
Aus ac[mm]\equiv[/mm] bc mod m folgt
a[mm]\equiv[/mm] b mod [mm]\frac{m}{d}[/mm] , wobei d=ggT(c,m).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
Ja, die gleiche kenne ich auch.
[mm]c*a \equiv c*b \mod{m} [/mm] und [mm]ggT(c,m) = d[/mm] [mm]\Rightarrow q \equiv b \mod{m:d}[/mm]
und
[mm]c*a \equiv c*b \mod{m} [/mm] und [mm]ggT(c,m) = 1[/mm] [mm]\Rightarrow q \equiv b \mod{m}[/mm]
Aber kann ich das auch zum reduzieren der Kongruenzen in einem System verwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Sa 26.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Ja, die gleiche kenne ich auch.
>
> [mm]c*a \equiv c*b \mod{m}[/mm] und [mm]ggT(c,m) = d[/mm] [mm]\Rightarrow q \equiv b \mod{m:d}[/mm]
>
> und
>
> [mm]c*a \equiv c*b \mod{m}[/mm] und [mm]ggT(c,m) = 1[/mm] [mm]\Rightarrow q \equiv b \mod{m}[/mm]
>
>
> Aber kann ich das auch zum reduzieren der Kongruenzen in
> einem System verwenden?
Warum denn nicht?
$ 25x [mm] \equiv [/mm] 15 mod 120 $ lässt sich nun mal auf beiden Seiten durch 5 teilen.
Du kannst auch beliebige andere gültige Umformungen vornehmen.
Wegen $ 375 [mm] \equiv [/mm] 15 mod 120 $
kannst du auch $ 25x [mm] \equiv 15\equiv [/mm] 375 mod 120 $ schreiben, und
$ 25x [mm] \equiv [/mm] 375 mod 120 $ lässt sich durch Division mit 25 zu
$ x [mm] \equiv [/mm] 15 mod 24$ umschreiben.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Adele |
Danke dir!
Und ein schönes Wochenende noch :)
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