Konj.klasse <=> Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:03 Mo 06.03.2006 | | Autor: | co83sc |
| Aufgabe | "Bestimmt ein n-Tupel von Eigenwerten eindeutig eine zugehörige Konjugationsklasse von n x n Matrizen über C?"
---Die andern Antworten sind mir beim formulieren selbst gekommen. |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
# Das ist mein erstes Posting, daher noch etwas unbeholfen im Verwenden der Mathe-Symbole..
Kann ich daraus, dass eine Funktion u:A->C auf ähnlichen (zueinander konjugierten) Matrizen denselben Wert hat, schließen, dass sie einzig durch die zu dieser Klasse gehörenden Eigenwerte bestimmt ist?
Das ist äquivalent dazu, dass zwei Matrizen mit denselben Eigenwerten automatisch zueinander konjugiert sind; solange jeder EW nur einmal vorkommt stimmt das, dann sind beide konjugiert zur Diagonalmatrix mit den EW-einträgen.
Gilt das auch allgemein? Schließlich kann so ein Kästchen in der Jordan-Form mit den selben EW unterschiedlich aussehen.. Tips?
vielen Dank für eure Hilfe.
constantin
Hintergrund (der für diese Frage eigtl nicht mehr so wichtig ist, aber löschen wollt ich das alles auch nicht):
In einem Skript wird als Beispiel für die Charaktere einer Algebra gezeigt, dass die Algebra der n x n Matrizen über C, n>1, keine nicht trivialen Charaktere hat:
(Ein Charakter der Algebra A ist definiert als u in A*
( also u: A -> C mit u(x*a+y*b)=x*u(a)+y*u(b) für a,b in A und x,y in C),
u != 0 und:
u(a b) =u(a) u(b) für alle a,b in A,
in Worten: eine nichttriviale Linearform, die außerdem noch multiplikativ ist)
beinahe Zitat:
"
Sei A = [mm] Mat_C(n) [/mm] , Algebra der n x n Matrizen über C, n>1, u ein Charakter von A.
Dann ist u(a^(-1) b a)=u(a)^(-1) u(b) u(a)=u(b)
d.h. u ist konstant auf Konjugationsklassen.
Deshalb läßt sich u ausdrücken in elementarsymmetrischen Funktionen der Eigenwerte.
..."
(warum?? und was heißt elementarsymmetrisch?
[mm] f(v_1,...,v_n)=f(v_s(1),...,v_s(n)) [/mm] für alle permutationen s ?)
klar ist: die Eigenwerte sind auf derselben Konjugationsklasse gleich,
aber ist alles was auf derselben konjugationsklasse gleich ist bestimmt
durch die menge der eigenwerte?? warum?)
(Fortsetzung:)
"... nun soll aber u linear sein, also muss
u(a)=const tr(a)
gelten, was aber nicht multiplikativ ist für const !=0 daher gibt es keine Charaktere für diese Algebra."
(ok, u(a+b)=u(a)+u(b) und tr(a+b)=tr(a)+tr(b) und tr, die spur einer
matrix ist = summe der eigenwerte, und wenn man annimmt, dass u
symmetrische funktion der eigenwerte und linear sein soll, dann bleibt
glaube ich auch nur die Möglichkeit u(a) = const tr(a) und es klappt)
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen,
ueber bel. Koerper gilt:
Zwei triangulierbare Matrizen
A und B sind aehnlich (d.h. es gibt [mm] P\in [/mm] GL(n,K) mit [mm] P^{-1}AP=B)
[/mm]
genau dann, wenn sie dieselbe Jordan-Normalform haben.
Also charakterisiert die Folge [mm] (\lambda_1,\ldots [/mm] , [mm] \lambda_n) [/mm]
die Matrix nicht bis auf Aehnlichkeit, sondern nur bis auf algebraische Vielfachheit der
Eigenwerte im char. Polynom.
Gruss,
Mathias
|
|
|
|
