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| Aufgabe | Man untersuche die Funktion in Bezug auf Monotonie,Extremalstellen und Konvexität/Konkavität:
f(x)=tanh (x) |
Im Bezug auf die Extremstellen gilt ja f´(x)=0
Speziell bei der Aufgabe erhalte ich ja die Ableitung:
f´(x)= 1/(cosh(x))² bzw 1-tanh²(x)
Ich hab nun das Problem das ich nicht genau weiß wie ich nun auf die x-Stelle komme?
Kann ich dann mit den Extremstellen aussagen über das Monotonieverhalten machen?
Mithilfe von f(x1)<f(x2) und den anderen möglichen Varianten?^^
Brauch ich die Wendepunkte um genaue Angaben über die INtervalle machen zu können in denen sich die Konvexität/Konkavität ändert?
Vielen Dank im Vorraus:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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>Es hilt die oben berechnete Ableitung:
>$ [mm] \tanh'(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)} [/mm] $
>Wie hängen Ableitung und Steigung und Steigung und Monotonie >zusammen?
>Was kannst du also über die Monotonie hier sagen?
Man erhält durch die Ableitung ja die Steigung der Tangente an Stelle x.
Je nachdem ob diese positiv/negativ ist ändert sich ja die Monotonie in wachsend/fallend.
Allerdings weiß ich jetz nicht genau wie ich die Intervalle bestimmen kann in denen sich die Monotonie ändert.
Mir scheint es etwas seltsam wenn ich irgendwelche Punkte wähle bei denen x1<x2 gilt und anhand dessen f(x)-Werten zu beurteilen um welches Monotonieverhalten es sich handelt.
Deswegen dachte ich das es vllt hilfreich ist die Punkte auszurechnen in denen sich diese Verhalten ändert und genau diese Punkte sind doch die Extremstellen oder nich?
>Berechne diese also mal aus $ [mm] \tanh'(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)} [/mm] $
>Dann hast du auch die Wendestelle im Handumdrehen.
>Dann schaue, in welchem Intervall $ [mm] f''(x)\ge [/mm] 0 $ ist und in welchem $ >f''(x)<0 $ ist ...
Die 2. Ableitung ist ja gegeben durch:
f"(x)=[(cosh(x))²-(2(cosh(x))*sindh(x))] / [mm] (cosh(x))^4
[/mm]
Wenn ich diese =0 setze und die x Werte ausrechne bekomme ich die Wendestellen.
Diese Stellen müssten mir doch dann auch die Intervalle zur bestimmung Der Konvexität/Konkavität liefern oder nicht?
Anschließend würde ich dann z.B x=1 setzen und bei f(x)>0 würd es sich um eine linkskrümmung handeln?
Achja ist eine linkskrümmung konvex oder konkav? xD
Zusammenfassend:
Kann man sagen, dass man bei Monotonie die Intervalle durch Extremwertbestimmung berechnen kann und dann diesen das Monotonieverhalten testet?
Ebenso bei Konvexität/Konkavität das gleiche gilt nur das ich zur bestimmung der Intervalle die Wendestellen ausrechne?
Oder gibt es schnellere Methoden=?
Danke im VoRaus :-P
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Hallo nochmal,
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> >Es hilt die oben berechnete Ableitung:
>
> >[mm] \tanh'(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}[/mm]
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> >Wie hängen Ableitung und Steigung und Steigung und
> Monotonie >zusammen?
>
> >Was kannst du also über die Monotonie hier sagen?
>
>
> Man erhält durch die Ableitung ja die Steigung der
> Tangente an Stelle x.
> Je nachdem ob diese positiv/negativ ist ändert sich ja
> die Monotonie in wachsend/fallend.
> Allerdings weiß ich jetz nicht genau wie ich die
> Intervalle bestimmen kann in denen sich die Monotonie
> ändert.
> Mir scheint es etwas seltsam wenn ich irgendwelche Punkte
> wähle bei denen x1<X2
> zu beurteilen um welches Monotonieverhalten es sich
> handelt.
>
> Deswegen dachte ich das es vllt hilfreich ist die Punkte
> auszurechnen in denen sich diese Verhalten ändert und
> genau diese Punkte sind doch die Extremstellen oder nich?
Was machst du dir denn hier bei dieser Trivialität solche Gedanken?
Hast du dir mal den Graphen der Funktion [mm]\cosh(x)[/mm] angesehen?
Nein, oder?
Es ist [mm]\cosh(x)>0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm], also insbesondere [mm]\neq 0[/mm]
Damit ist doch wohl trivialst ersichtlich, dass [mm]\tanh'(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}[/mm] als Quotient zweier auf ganz [mm]\IR[/mm] positiven Terme positiv ist.
Die Ableitung (Steigung) von [mm]\tanh(x)[/mm] ist also auf ganz [mm]\IR[/mm] positiv, mithin ist das Ding streng monoton steigend.
Fertig!
>
> >Berechne diese also mal aus
> [mm]\tanh'(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}[/mm]
>
> >Dann hast du auch die Wendestelle im Handumdrehen.
>
> >Dann schaue, in welchem Intervall [mm]f''(x)\ge 0[/mm] ist und in
> welchem [mm]>f''(x)<0[/mm] ist ...
>
> Die 2. Ableitung ist ja gegeben durch:
> f"(x)=[(cosh(x))²-(2(cosh(x))*sindh(x))] / [mm](cosh(x))^4[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm]f''(x)=\frac{0\cdot{}\cosh^2(x)-2\cosh(x)\sinh(x)}{\cosh^4(x)}=\frac{-2\sinh(x)}{\cosh^3(x)}[/mm]
Der Nenner ist nach dem oben Gesagten auf ganz [mm]\IR[/mm] positiv.
Untersuche den Zähler, dann hast du die 2 gesuchten Intervalle.
Untersuche vllt. zuerst auf Nullstellen, dann hast du die Wendestelle als Nahtstelle zwischen den beiden Intervallen ...
Sinnvoll ist es, sich mal die beteiligten Funktionen [mm] $\sinh(x)$ [/mm] und [mm] $\cosh(x)$ [/mm] anzusehen ...
Dann ist alle doch sehr sehr einfach...
>
> Wenn ich diese =0 setze und die x Werte ausrechne bekomme
> ich die Wendestellen.
> Diese Stellen müssten mir doch dann auch die Intervalle
> zur bestimmung Der Konvexität/Konkavität liefern oder
> nicht?
Ja!
> Anschließend würde ich dann z.B x=1 setzen und bei
> f(x)>0 würd es sich um eine linkskrümmung handeln?
> Achja ist eine linkskrümmung konvex oder konkav? xD
Wenn du es sehr umständlich magst, dann ja.
Einfacher über die Eigenschaften der beteiligten Funktionen [mm]\sinh(x)[/mm] und [mm]\cosh(x)[/mm]
>
> Zusammenfassend:
> Kann man sagen, dass man bei Monotonie die Intervalle
> durch Extremwertbestimmung berechnen kann und dann diesen
> das Monotonieverhalten testet?
Jein, was, wenn es kein Extremum gibt, so wie hier?
Elementares aus der Schule:
Die Ableitung gibt die Steigung an. In den Intervallen, wo [mm]f'(x)\ge (>) 0[/mm] ist, ist [mm]f[/mm] (streng) monoton wachsend (mit [mm]\le[/mm] bzw. [mm]<[/mm] entsprechend fallend)
> Ebenso bei Konvexität/Konkavität das gleiche gilt nur
> das ich zur bestimmung der Intervalle die Wendestellen
> ausrechne?
Wenn es eine gibt ...
Dann testen, wie es links und rechts der Wendestelle aussieht.
> Oder gibt es schnellere Methoden=?
Noch schneller? Hier ist das doch wirklich schnell gemacht ...
Du kannst ja mal den alternativen Weg über die formale Definition der Konvexität gehen ...
>
> Danke im VoRaus :-P
Gruß
schachuzipus
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
