Konservatives Feld/Potential < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Di 16.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben ist das ebene Kraftfeld $ \vec{F}=x\vec{e}_x+y\vec{e}_y $.
a) Zeigen Sie, dass dieses Feld konservativ ist.
b) Bestimmen sie das Potential(x;y) des Feldes.
c) Berechnen Sie das Arbeitsintegral $ \integral_{}^{C}{\vec{F}\cdot d\vec{r}} $ für einen beliebigen von $ P_1 $=(1;0) nach $ P_2 $=(3;5) führenden Verbindungsweg $ C $. |
Hallo nochmal,
leider war ich in dieser Vorlesung wo das Thema behandelt wurde nicht dabei. Bin nun leider ziemlich ratlos. Habe mir Vorlesungsmitschriften von einen Kommunitonen kopiert aber da steige ich auch nicht wirklich durch.
Konservativ heißt ja, dass egal wie groß der Weg ist, die Arbeit gleich bleibt und dass keine Kraft verloren geht. Muss ich dann einfach prüfen ob
$ rot\vec{F}=0 $ ist?
$ rot\vec{F}=\Delta x \vec{F} } $
Könnt ihr mir vor allem bei c) noch einmal helfen?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Di 16.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Also wenn ich das richtig verstehe ist das Potential wie folgt zu berechnen. Ich gehe quasi vor wie bei der Gradienten Berechnung jedoch Differenziere ich nicht, sondern Integriere. Korrekt?
Das würde sich dann auch mit der Lösung decken.
Gruß und Danke!
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Hallo!
> Hallo nochmal,
> leider war ich in dieser Vorlesung wo das Thema behandelt
> wurde nicht dabei. Bin nun leider ziemlich ratlos. Habe mir
> Vorlesungsmitschriften von einen Kommunitonen kopiert aber
> da steige ich auch nicht wirklich durch.
>
> Konservativ heißt ja, dass egal wie groß der Weg ist, die
> Arbeit gleich bleibt und dass keine Kraft verloren geht.
> Muss ich dann einfach prüfen ob
> [mm]rot\vec{F}=0[/mm] ist?
Richtig.
> [mm]rot\vec{F}=\Delta x \vec{F} }[/mm]
Du meinst wohl eher [mm]rot\vec{F}=\vec{\nabla}\times\vec{F}[/mm]
>
> Könnt ihr mir vor allem bei c) noch einmal helfen?
Im Prinzip kannst du dir hier eine Parametrisierung für den Weg ausdenken, die wie diese aussieht:
[mm]\vec{s}(t)=\vektor{1\\
0}+\vektor{2\\
5}*t,\qquad t\in [0;\,1][/mm]
Das ist eine Grade vom ersten zum zweiten Punkt. Die Kraft entlang dieser Graden ist dann
[mm]\vec{F}(\vec{s}(t))[/mm]
Für Arbeit gilt [mm]W=\vec{F}*\vec{s}[/mm] , aber da die Kraft hier nicht konstant entlang des Weges ist,
[mm]\int \vec{F}\,d\vec{s}[/mm]
Jetzt kommt die Substitution aus der Schule:
Statt über s wollen wir über t integrieren:
[mm]\frac{d\vec{s}}{dt}=\vektor{2\\
5}[/mm]
[mm]d\vec{s}=\vektor{2\\
5}\,dt[/mm]
(Das heißt: Wenn du einen Schritt in "t-Einheiten" gehst, hast du dich in Wahrheit um [mm]\vektor{2\\
5}[/mm] bewegt)
und damit:
[mm]W=\int_{t=0}^{t=1}\vec(F}(\vec{s}(t))*\vektor{2\\
5}\,dt[/mm]
probier es aus, das geht nun ganz einfach.
Das war nun ein wenig aufwändiger, aber es demonstriert, wie man solche Aufgaben lösen kann. Je nach Feld kann auch ein anderer Weg als der direkte einfacher zu berechnen sein, die Arbeit ist aber die gleiche.
Durch geschickte Überlegungen kann man es sich aber einfacher machen:
Wie sieht dein Feld aus?
Welche Bewegungen erfordern keinen Kraftaufwand? Bei welchen ist die Kraft parallel zum Weg?
Wenn du das machst, kannst du dir bei dieser Aufgabe die Vektorrechnung sparen. (Tipp: erst gegen die Kraft gehen, dann den Weg ohne Widerstand)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 16.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Im Prinzip kannst du dir hier eine Parametrisierung für
> den Weg ausdenken, die wie diese aussieht:
>
> [mm]\vec{s}(t)=\vektor{1\\
0}+\vektor{2\\
5}*t,\qquad t\in [0;\,1][/mm]
>
> Das ist eine Grade vom ersten zum zweiten Punkt. Die Kraft
> entlang dieser Graden ist dann
>
> [mm]\vec{F}(\vec{s}(t))[/mm]
>
> Für Arbeit gilt [mm]W=\vec{F}*\vec{s}[/mm] , aber da die Kraft hier
> nicht konstant entlang des Weges ist,
> [mm]\int \vec{F}\,d\vec{s}[/mm]
>
> Jetzt kommt die Substitution aus der Schule:
>
> Statt über s wollen wir über t integrieren:
>
> [mm]\frac{d\vec{s}}{dt}=\vektor{2\\
5}[/mm]
>
> [mm]d\vec{s}=\vektor{2\\
5}\,dt[/mm]
>
> (Das heißt: Wenn du einen Schritt in "t-Einheiten" gehst,
> hast du dich in Wahrheit um [mm]\vektor{2\\
5}[/mm] bewegt)
>
> und damit:
>
> [mm]W=\int_{t=0}^{t=1}\vec(F}(\vec{s}(t))*\vektor{2\\
5}\,dt[/mm]
>
> probier es aus, das geht nun ganz einfach.
Also ich habe mir das Ganze nochmal angeschaut inkl. der Lösungen und Frage mich ob ich da so rangehen kann:
$ [mm] \integral_{C}^{}{ xdx+ydy } [/mm] $
$ [mm] [\bruch{1}{2}(x^2+y^2)] [/mm] $
Nun weiß ich bloß nicht wie ich $ [mm] P_1 [/mm] $ und $ [mm] P_2 [/mm] $ mit einbringen soll.
> Durch geschickte Überlegungen kann man es sich aber
> einfacher machen:
>
> Wie sieht dein Feld aus?
>
> Welche Bewegungen erfordern keinen Kraftaufwand? Bei
> welchen ist die Kraft parallel zum Weg?
>
> Wenn du das machst, kannst du dir bei dieser Aufgabe die
> Vektorrechnung sparen. (Tipp: erst gegen die Kraft gehen,
> dann den Weg ohne Widerstand)
Puh. Ich bin in Mathe wirklich schlecht und versuche mir die Rechenwege/Formeln auf meine Formelsammlung zu schreiben und da irgendwie durch zu kommen. Mein Wissen ist zu schlecht um mir über sowas noch Gedanken zu machen. Abgesehen davon müssen sowieso Rechnungen in der Klausur vorhanden sein.
Ich danke dir trotzdem riesig für die Tipps.
Hat noch jemand meine Mitteilung gelesen, welche eigentlich ein Frageartikel werden sollte?
Gruß
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Hallo Haiza,
>
> > Im Prinzip kannst du dir hier eine Parametrisierung für
> > den Weg ausdenken, die wie diese aussieht:
> >
> > [mm]\vec{s}(t)=\vektor{1\\
0}+\vektor{2\\
5}*t,\qquad t\in [0;\,1][/mm]
>
> >
> > Das ist eine Grade vom ersten zum zweiten Punkt. Die Kraft
> > entlang dieser Graden ist dann
> >
> > [mm]\vec{F}(\vec{s}(t))[/mm]
> >
> > Für Arbeit gilt [mm]W=\vec{F}*\vec{s}[/mm] , aber da die Kraft hier
> > nicht konstant entlang des Weges ist,
> > [mm]\int \vec{F}\,d\vec{s}[/mm]
> >
> > Jetzt kommt die Substitution aus der Schule:
> >
> > Statt über s wollen wir über t integrieren:
> >
> > [mm]\frac{d\vec{s}}{dt}=\vektor{2\\
5}[/mm]
> >
> > [mm]d\vec{s}=\vektor{2\\
5}\,dt[/mm]
> >
> > (Das heißt: Wenn du einen Schritt in "t-Einheiten" gehst,
> > hast du dich in Wahrheit um [mm]\vektor{2\\
5}[/mm] bewegt)
> >
> > und damit:
> >
> > [mm]W=\int_{t=0}^{t=1}\vec(F}(\vec{s}(t))*\vektor{2\\
5}\,dt[/mm]
>
> >
> > probier es aus, das geht nun ganz einfach.
>
> Also ich habe mir das Ganze nochmal angeschaut inkl. der
> Lösungen und Frage mich ob ich da so rangehen kann:
> [mm]\integral_{C}^{}{ xdx+ydy }[/mm]
> [mm][\bruch{1}{2}(x^2+y^2)][/mm]
> Nun weiß ich bloß nicht wie ich [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] mit
> einbringen soll.
Zunächst setzt Du für den Ausdruck [mm]x \ dx + y \ dx[/mm]
die Parametrisierung ein und integrierst erst dann.
>
> > Durch geschickte Überlegungen kann man es sich aber
> > einfacher machen:
> >
> > Wie sieht dein Feld aus?
> >
> > Welche Bewegungen erfordern keinen Kraftaufwand? Bei
> > welchen ist die Kraft parallel zum Weg?
> >
> > Wenn du das machst, kannst du dir bei dieser Aufgabe die
> > Vektorrechnung sparen. (Tipp: erst gegen die Kraft gehen,
> > dann den Weg ohne Widerstand)
>
> Puh. Ich bin in Mathe wirklich schlecht und versuche mir
> die Rechenwege/Formeln auf meine Formelsammlung zu
> schreiben und da irgendwie durch zu kommen. Mein Wissen ist
> zu schlecht um mir über sowas noch Gedanken zu machen.
> Abgesehen davon müssen sowieso Rechnungen in der Klausur
> vorhanden sein.
> Ich danke dir trotzdem riesig für die Tipps.
>
>
> Hat noch jemand meine Mitteilung gelesen, welche eigentlich
> ein Frageartikel werden sollte?
Ja.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Zunächst setzt Du für den Ausdruck [mm]x \ dx + y \ dx[/mm]
> die
> Parametrisierung ein und integrierst erst dann.
Wie meinst du das, bzw. was verstehe ich unter parametisierung? Meinst du damit die Punkte $ [mm] P_1 [/mm] $ und $ [mm] P_2 [/mm] $ einzusetzen? Wenn ja weiß ich nicht genau wie ich die dort einsetze.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Mi 17.08.2011 | | Autor: | chrisno |
Parametrisierung heißt hier eine Funktion angeben, die mit einer Variablen den Weg für die beiden Koordinaten erzeugt.
Ein Beispiel: Der Weg beginne bei [mm] $P_1 [/mm] = (1;1)$ und ende bei [mm] $P_2 [/mm] = (3;9)$. Er soll entlang einer Normalparabel laufen. Wenn man sich das als zeitlichen Ablauf vorstellt, dann wird kann man die Zeit als Variable nehmen. x und y sind dann Funktionen dieser Variablen $x(t)$ und $y(t)$. Wann man die Zeit startet und stoppt, darf man sich hier aussuchen, da keine Vorgaben gemacht wurden. Daher beginne ich nicht mit $t = 0$, sondern mit $t =1$. Da soll der Weg bei [mm] $P_1$ [/mm] beginnen, also $x(1) = 1$ und $y(1) = 1$. Er soll enden bei [mm] $P_2$ [/mm] mit $x(3) = 3$ und $y(3) = 9$. Mit dem Ende bei $t = 3$ mache ich es mir wieder bequem.
Nun sind die Funktionen recht einfach: $x(t)= t$ und $y(t) = [mm] t^2$. [/mm] Durch Einsetzen kannst Du das ausprobieren.
Nun versuche mal den gleichen Weg darzustellen. Dabei soll aber der Start zu $t=0$ erfolgen und das Ziel bei $t=1$ erreicht werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Mi 17.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] \vec{F}(x,y)=x\vec{e}_x+y\vec{e}_y [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}= \vektor{F_1(x,y) \\ F_2(x,y)}$ [/mm] , (x,y) [mm] \in \IR^2.
[/mm]
Zu a) [mm] \vec{F} [/mm] ist konservatuv [mm] \gdw \bruch{\partial F_1}{\partial y}= \bruch{\partial F_2}{\partial x} [/mm] auf [mm] \IR^2.
[/mm]
Zu b): Suche eine Funktion V: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] mit grad V= [mm] \vec{F} [/mm] auf [mm] \IR^2.
[/mm]
Solch ein V heißt eine Stammfunktion von [mm] \vec{F} [/mm] und -V heißt ein Potential von [mm] \vec{F}
[/mm]
Zu c). Wegen a) ist $ [mm] \integral_{}^{C}{\vec{F}\cdot d\vec{r}} [/mm] $ wegunabhängig und es gilt:
$ [mm] \integral_{}^{C}{\vec{F}\cdot d\vec{r}} [/mm] = [mm] V(P_2)-V(P_1)$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Es ist
>
> [mm]\vec{F}(x,y)=x\vec{e}_x+y\vec{e}_y = \vektor{x \\ y}= \vektor{F_1(x,y) \\ F_2(x,y)}[/mm]
> , (x,y) [mm]\in \IR^2.[/mm]
>
> Zu a) [mm]\vec{F}[/mm] ist konservatuv [mm]\gdw \bruch{\partial F_1}{\partial y}= \bruch{\partial F_2}{\partial x}[/mm]
> auf [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Zu b): Suche eine Funktion V: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] mit grad V=
> [mm]\vec{F}[/mm] auf [mm]\IR^2.[/mm]
Was? Sorry ich brauche das als Text, ich steig da sonst nicht mehr durch. Also meine Funktion bzw meinen Vektor $ [mm] \vec{F} [/mm] $ integrieren bzw aufleiten?
> Solch ein V heißt eine Stammfunktion von [mm]\vec{F}[/mm] und -V
> heißt ein Potential von [mm]\vec{F}[/mm]
Also Integrieren und ein - davor???
> Zu c). Wegen a) ist [mm]\integral_{}^{C}{\vec{F}\cdot d\vec{r}}[/mm]
> wegunabhängig und es gilt:
>
> [mm]\integral_{}^{C}{\vec{F}\cdot d\vec{r}} = V(P_2)-V(P_1)[/mm]
Wie setze ich denn da $ [mm] P_1 [/mm] $ und $ [mm] P_2 [/mm] $ ein? Das sind doch 1 Punkt im Koordinatensystem und zwei Angaben. Einmal für die x und einmal für die y-Achse. Wie soll ich denn 2 Angaben in eine Funktion stecken?
Sorry wenn ich mich echt doof anstelle, aber ich brauche das als verständlichen Text. Ansonsten hilft mir das nicht. Dann kann ich auch weiter in meinen Büchern lesen wo auch kaum Text drin ist.
Gruß und Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 17.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist
> >
> > [mm]\vec{F}(x,y)=x\vec{e}_x+y\vec{e}_y = \vektor{x \\ y}= \vektor{F_1(x,y) \\ F_2(x,y)}[/mm]
> > , (x,y) [mm]\in \IR^2.[/mm]
> >
> > Zu a) [mm]\vec{F}[/mm] ist konservatuv [mm]\gdw \bruch{\partial F_1}{\partial y}= \bruch{\partial F_2}{\partial x}[/mm]
> > auf [mm]\IR^2.[/mm]
> >
> > Zu b): Suche eine Funktion V: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] mit grad V=
> > [mm]\vec{F}[/mm] auf [mm]\IR^2.[/mm]
>
> Was? Sorry ich brauche das als Text,
Auch noch in Gedichtform ?
> ich steig da sonst
> nicht mehr durch. Also meine Funktion bzw meinen Vektor
> [mm]\vec{F}[/mm] integrieren bzw aufleiten?
Integrieren. Aufleiten gibts nicht.
Gesucht: eine Funktion V: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] mit:
[mm] V_x(x,y) [/mm] =x und [mm] V_y(x,y)=y
[/mm]
Aus [mm] V_x(x,y) [/mm] =x folgt: [mm] V(x,y)=\bruch{x^2}{2}+c(y), [/mm] wobei c differenzierbar ist.
Dann ist $y= [mm] V_y(x,y) [/mm] =c'(y)$. Somit kannst Du c(y)= [mm] \bruch{y^2}{2} [/mm] wählen.
Eine Stammfunktion von [mm] \vec{F} [/mm] wäre somit:
V(x,y) [mm] =\bruch{x^2}{2}+\bruch{y^2}{2}.
[/mm]
>
>
> > Solch ein V heißt eine Stammfunktion von [mm]\vec{F}[/mm] und -V
> > heißt ein Potential von [mm]\vec{F}[/mm]
>
> Also Integrieren und ein - davor???
Jo.
>
> > Zu c). Wegen a) ist [mm]\integral_{}^{C}{\vec{F}\cdot d\vec{r}}[/mm]
> > wegunabhängig und es gilt:
> >
> > [mm]\integral_{}^{C}{\vec{F}\cdot d\vec{r}} = V(P_2)-V(P_1)[/mm]
>
> Wie setze ich denn da [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] ein? Das sind doch 1
> Punkt im Koordinatensystem und zwei Angaben. Einmal für
> die x und einmal für die y-Achse. Wie soll ich denn 2
> Angaben in eine Funktion stecken?
Ich glaub es nicht !!!
V ist eine Funktion von 2 Variablen, also
[mm] V(P_1)=V(1,0) [/mm] und [mm] V(P_2)=V(3,5).
[/mm]
>
> Sorry wenn ich mich echt doof anstelle, aber ich brauche
> das als verständlichen Text. Ansonsten hilft mir das
> nicht. Dann kann ich auch weiter in meinen Büchern lesen
> wo auch kaum Text drin ist.
Ich entschuldige mich untertänigst mit:
Der Unfall des Mathematikers
Es war sehr kalt, der Winter dräute,
da trat - und außerdem war's glatt -
Professor Wurzel aus dem Hause,
weil er was einzukaufen hat.
Kaum tat er seine ersten Schritte,
als ihn das Gleichgewicht verließ,
er rutschte aus und fiel und brach sich
die Beine und noch das und dies.
Jetzt liegt er nun, völlig gebrochen,
im Krankenhaus in Gips und spricht:
''Ich rechnete schon oft mit Brüchen,
mit solchen Brüchen aber nicht!''
Von: Heinz Erhardt
FRED
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> Gruß und Danke!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Gut habe jetzt als Funktion folgendes:
$ [ [mm] \bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}y^2] [/mm] $
$ [mm] P_1 [/mm] $ und $ [mm] P_2 [/mm] $ einsetzten:
$ [mm] [\bruch{1}{2}3^2-\bruch{1}{2}5^2] [/mm] - [mm] [\bruch{1}{2}1^2] [/mm] $
$ -8 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
So Stimmt das Ergebnis nicht. Das Ergebnis ist 16,5 was nur rauskommt wenn die Funktion so lautet:
$ [ [mm] \bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{2}y^2] [/mm] $
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 17.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gut habe jetzt als Funktion folgendes:
>
> [mm][ \bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}y^2][/mm]
Wieso "-" ??????
> [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] einsetzten:
> [mm][\bruch{1}{2}3^2-\bruch{1}{2}5^2] - [\bruch{1}{2}1^2][/mm]
> [mm]-8 - \bruch{1}{2}[/mm]
>
> So Stimmt das Ergebnis nicht.
Kein Wunder ....
> Das Ergebnis ist 16,5 was nur
> rauskommt wenn die Funktion so lautet:
>
> [mm][ \bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{2}y^2][/mm]
Willst Du mich verarschen ? Was habe ich Dir oben geschrieben ? Das:
"Eine Stammfunktion von $ [mm] \vec{F} [/mm] $ wäre somit:
V(x,y) $ [mm] =\bruch{x^2}{2}+\bruch{y^2}{2}. [/mm] $"
FRED
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> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Mein Gott ist ja gut. Nein ich will dich nicht verarschen. Meinst du ich habe in meinen Semesterferien nichts anderes zu tun als mir jeden Tag Mathe in mein Kopf zu prügeln? Ich bin in Mathe eine Niete, will das Studium trotzdem schaffen...
Ich ging von dem hier aus, was von dir kam:
> $ [mm] \integral_{}^{C}{\vec{F}\cdot d\vec{r}} [/mm] = [mm] V(P_2)-V(P_1) [/mm] $
und hier habe ich extra nach gefragt weil es mich gewundert hat, das ich da ein "-" hinsetzen soll und das hattest du da bestätigt:
>> Also Integrieren und ein - davor???
>
>Jo.
Deswegen.
Wie auch immer... habe es jetzt ja verstanden.
Trotzdem Danke...
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