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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mi 07.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Die Gravitationskraft, die von einen festen (in [mm] x_0 \in \IR^3) [/mm] ruhenden Massenpunkt auf einen beliebigen anderen Massenpunkt mit der Position x [mm] \in \IR^3 [/mm] ausgeübt wird, wird durch eiN Vektorfeld beschrieben, dessen Richtung die Richtung von x nach [mm] x_0 [/mm] ist und dessen Betrag proportional zum Quadrat des reziprokenAbstandes zwischen den beiden Punkten ist. Man zeige, dass dieses Kraftfeld konservativ ist, indem man ein geeignetes Potential findet. |
Mein Tutor hat das so gelöst(ich war in der stunde nicht da, habe nur die Mitschrift):
||F|| = [mm] \frac{1}{||x||^2}
[/mm]
Sei F [mm] \vektor{x \\ y \\z}= \vektor{-x \\ -y \\-z} \frac{1}{(|| \vektor{x \\ y\\ z} ||)^3}= [/mm] -x [mm] (\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2})^{3/2}
[/mm]
[mm] \int (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^{-3/2} [/mm] x dx = [mm] \int f(\phi(x)) \phi'(x) [/mm] = 1/2 [mm] \int [/mm] 2x [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2) [/mm] = 1/2 * [mm] \frac{u^{-1/2}}{-1/2} [/mm] = 1/2 (-2) * [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2^)^{\frac{-1}{2}} [/mm] = - [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2)^{\frac{-1}{2}}
[/mm]
Ich verstehe das leider nicht..(genauso wie meine Kollegen)
Kann mir da wer helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Mi 07.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die Gravitationskraft, die von einen festen (in [mm]x_0 \in \IR^3)[/mm]
> ruhenden Massenpunkt auf einen beliebigen anderen
> Massenpunkt mit der Position x [mm]\in \IR^3[/mm] ausgeübt wird,
> wird durch eiN Vektorfeld beschrieben, dessen Richtung die
> Richtung von x nach [mm]x_0[/mm] ist und dessen Betrag proportional
> zum Quadrat des reziprokenAbstandes zwischen den beiden
> Punkten ist. Man zeige, dass dieses Kraftfeld konservativ
> ist, indem man ein geeignetes Potential findet.
> Mein Tutor hat das so gelöst(ich war in der stunde nicht
> da, habe nur die Mitschrift):
> ||F|| = [mm]\frac{1}{||x||^2}[/mm]
>
>
> Sei F [mm]\vektor{x \\ y \\z}= \vektor{-x \\ -y \\-z} \frac{1}{(|| \vektor{x \\ y\\ z} ||)^3}=[/mm]
> -x [mm](\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2})^{3/2}[/mm]
> [mm]\int (x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] +
> [mm]z^2)^{-3/2}[/mm] x dx = [mm]\int f(\phi(x)) \phi'(x)[/mm] = 1/2 [mm]\int[/mm] 2x
> [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)[/mm] = 1/2 * [mm]\frac{u^{-1/2}}{-1/2}[/mm] = 1/2 (-2)
> * [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2^)^{\frac{-1}{2}}[/mm] = - [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] +
> [mm]z^2)^{\frac{-1}{2}}[/mm]
>
> Ich verstehe das leider nicht..(genauso wie meine
> Kollegen)
> Kann mir da wer helfen?
das würde ich an Deiner Stelle auch nicht verstehen, denn die Gleichung stimmt überhaupt nicht. Links steht ein Vektor und rechts ein Skalar, und zwischendrin ist auch ziemliches Durcheinander.
Dass das Feld konservativ ist, kann man zwar einfacher zeigen als durch Finden eines Potentials, aber wenn die Aufgabe das so verlangt...
Das Thema wurd ja sicher in der Vorlesung behandelt, was habt ihr darüber gelernt?
Ein Potential ist eine skalare Funktion, für die gilt:
[mm] $\vec{F}(\vec{r})=\nabla\phi(\vec{r})$
[/mm]
Versuch Dir mal selbst zu überlegen, wie man so eine Funktion bestimmen kann.
> LG
Gruß,
notinX
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