Konsistenz < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Approximation
[mm] d_{x_{i},x_{j}}^h u(x)=\begin{cases} \bruch{u(x+ \alpha_{i})-2u(x)+u(x- \alpha_{i})}{h_{i}^2}, & \mbox{falls } i=j \\ \bruch{u(x+ \alpha_{i} + \alpha_{j})-u(x+ \alpha_{i} - \alpha_{j})-u(x - \alpha_{i} + \alpha_{j})+u(x - \alpha_{i} - \alpha_{j})}{4 h_{i} h_{j}}, & \mbox{falls } i \not= j \end{cases}
[/mm]
mit [mm] \alpha_{i} [/mm] := [mm] h_{i} e_{i} [/mm] ist von zweiter Ordnung konsistent, d.h. für jede Funktion u [mm] \in C^4(\overline{G}) [/mm] gilt:
[mm] d_{x_{i},x_{j}} [/mm] u(x) = [mm] d_{x_{i},x_{j}}^h [/mm] u(x) + [mm] O(|h|^2) [/mm] für alle x [mm] \in \produkt_{i=1}^{d} (a_{i}+h_{i}, b_{i}-h_{i}).
[/mm]
Hierbei habe ich d für die partielle Differentiation geschrieben, O als ein Landau-Symbol. |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe hänge ich komplett.
Das fängt schon bei der Frage an, wie x aussieht. Das ist ja ein Produkt von Vektoren, das heißt aber, dass es bei einem geraden d ein Skalar ist und bei einem ungeraden d ein Vektor. Oder?
Aber ich dachte, x ist ein Punkt aus einem Rechteckgebiet (so wurde das in der Vorlesung mal gesagt), das bringe ich nicht zusammen.
Dann zu dem Landau-Symbol: das heißt, ich könnte an seine Stelle eine Funktion stellen, die "nicht wesentlich schneller wächst" als [mm] |h|^2, [/mm] also eine Funktion die zwar etwas schneller wächst, aber eben nicht viel?
Könnte ich dann die Gleichung umschreiben in:
[mm] |d_{x_{i},x_{j}} [/mm] u(x) - [mm] d_{x_{i},x_{j}}^h [/mm] u(x)| [mm] \le [/mm] C * [mm] |h|^2 [/mm] mit C skalare Konstante ?
Zur Definition von [mm] \alpha_{i}:
[/mm]
Was könnte hier [mm] e_{i} [/mm] sein? Wir haben nirgendwo eine Erklärung dazu.
Und dann zum Beweis:
Mache ich dann am besten eine Fallunterscheidung (Fall 1: i=j, Fall 2: i [mm] \not= [/mm] j) ?
Dann wäre meine vage Vorstellung des Vorgehens gewesen, jeweils den Term für [mm] d_{x_{i},x_{j}}^h u(x) [/mm] in die Gleichung einzusetzen.
Aber was dann?
Müsste ich so schon drauf kommen?
Kann mir hier jemand helfen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily
|
|
| |
|
Hallo!
Ich habe nun einen Tipp gefunden, der sagt, dass man den Taylorsatz anwenden solle.
Leider hilft mir das noch nicht wirklich weiter:
Soll ich u Taylor-entwickeln? Aber ich weiß doch über u nichts weiter als, dass es 4 mal stetig differenzierbar ist!
Kann mir bitte, bitte jemand helfen?
Das wäre ganz arg toll! 
Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
Hallo Mathe-Lily,
> Hallo!
> Ich habe nun einen Tipp gefunden, der sagt, dass man den
> Taylorsatz anwenden solle.
> Leider hilft mir das noch nicht wirklich weiter:
> Soll ich u Taylor-entwickeln? Aber ich weiß doch über u
> nichts weiter als, dass es 4 mal stetig differenzierbar
> ist!
>
Diese Definition
[mm] d_{x_{i},x_{j}}^h u(x)=\begin{cases} \bruch{u(x+ \alpha_{i})-2u(x)+u(x- \alpha_{i})}{h_{i}^2}, & \mbox{falls } i=j \\ \bruch{u(x+ \alpha_{i} + \alpha_{j})-u(x+ \alpha_{i} - \alpha_{j})-u(x - \alpha_{i} + \alpha_{j})+u(x - \alpha_{i} - \alpha_{j})}{4 h_{i} h_{j}}, & \mbox{falls } i \not= j \end{cases}[/mm]
ist in eine Taylor-Reihe zu entwickeln.
> Kann mir bitte, bitte jemand helfen?
> Das wäre ganz arg toll!
>
> Grüßle, Lily
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort!
Blos: Ist eine Taylorentwicklung nicht immer um einen bestimmten Entwicklungspunkt? Was könnte er hier sein?
|
|
|
| |
|
Hallo Mathe-Lily,
> Danke für deine Antwort!
> Blos: Ist eine Taylorentwicklung nicht immer um einen
> bestimmten Entwicklungspunkt? Was könnte er hier sein?
>
Der Entwicklungspunkt ist durch x gegeben.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Mathe-Lily,
> Zeigen Sie: Die Approximation
> [mm]d_{x_{i},x_{j}}^h u(x)=\begin{cases} \bruch{u(x+ \alpha_{i})-2u(x)+u(x- \alpha_{i})}{h_{i}^2}, & \mbox{falls } i=j \\ \bruch{u(x+ \alpha_{i} + \alpha_{j})-u(x+ \alpha_{i} - \alpha_{j})-u(x - \alpha_{i} + \alpha_{j})+u(x - \alpha_{i} - \alpha_{j})}{4 h_{i} h_{j}}, & \mbox{falls } i \not= j \end{cases}[/mm]
>
> mit [mm]\alpha_{i}[/mm] := [mm]h_{i} e_{i}[/mm] ist von zweiter Ordnung
> konsistent, d.h. für jede Funktion u [mm]\in C^4(\overline{G})[/mm]
> gilt:
> [mm]d_{x_{i},x_{j}}[/mm] u(x) = [mm]d_{x_{i},x_{j}}^h[/mm] u(x) + [mm]O(|h|^2)[/mm]
> für alle x [mm]\in \produkt_{i=1}^{d} (a_{i}+h_{i}, b_{i}-h_{i}).[/mm]
>
> Hierbei habe ich d für die partielle Differentiation
> geschrieben, O als ein Landau-Symbol.
> Hallo!
> Bei dieser Aufgabe hänge ich komplett.
>
> Das fängt schon bei der Frage an, wie x aussieht. Das ist
> ja ein Produkt von Vektoren, das heißt aber, dass es bei
> einem geraden d ein Skalar ist und bei einem ungeraden d
> ein Vektor. Oder?
Nein.
Mit [mm]x_{i}[/mm] bzw. [mm]x_{j}[/mm] ist
die i. bzw. j. Komponente des Vektors x gemeint.
> Aber ich dachte, x ist ein Punkt aus einem Rechteckgebiet
> (so wurde das in der Vorlesung mal gesagt), das bringe ich
> nicht zusammen.
>
Das ist auch richtig.
> Dann zu dem Landau-Symbol: das heißt, ich könnte an seine
> Stelle eine Funktion stellen, die "nicht wesentlich
> schneller wächst" als [mm]|h|^2,[/mm] also eine Funktion die zwar
> etwas schneller wächst, aber eben nicht viel?
> Könnte ich dann die Gleichung umschreiben in:
> [mm]|d_{x_{i},x_{j}}[/mm] u(x) - [mm]d_{x_{i},x_{j}}^h[/mm] u(x)| [mm]\le[/mm] C *
> [mm]|h|^2[/mm] mit C skalare Konstante ?
>
> Zur Definition von [mm]\alpha_{i}:[/mm]
> Was könnte hier [mm]e_{i}[/mm] sein? Wir haben nirgendwo eine
> Erklärung dazu.
>
Mit [mm]e_{i}[/mm] ist dann der i. Einheitsvektor gemeint.
> Und dann zum Beweis:
> Mache ich dann am besten eine Fallunterscheidung (Fall 1:
> i=j, Fall 2: i [mm]\not=[/mm] j) ?
> Dann wäre meine vage Vorstellung des Vorgehens gewesen,
> jeweils den Term für [mm]d_{x_{i},x_{j}}^h u(x)[/mm] in die
> Gleichung einzusetzen.
> Aber was dann?
> Müsste ich so schon drauf kommen?
>
> Kann mir hier jemand helfen?
> Das wäre toll!
> Grüßle, Lily
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank für deine Hilfe, MathePower!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 18.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
