Konsistenz Runge-Kutta < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 So 28.10.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | Sei y' = f(t,y(t)) gegeben. Wir betrachten ein zugehöriges m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren
[mm] y_{j+1}=y_j [/mm] + [mm] h\cdot\sum_{i=1}^m \gamma_i k_i(t_j,y_j,h_j).
[/mm]
a) Gehen Sie von der Taylorordnung zweiter Ordnung von y(t) bzgl t aus und ersetzen Sie konsequent y'(t) durch f(t,y(t)). Berechnen Sie auf diese Weise eine Darstellung der Taylorentwicklung von y in f und den partiellen Ableitungen [mm] f_t [/mm] und [mm] f_y.
[/mm]
b) Entwickeln Sie die Runge-Kutta-Inkrementfunktion aus der Vorlesung
[mm] \phi(t,y(t),h) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^m \gamma_i [/mm] k(t,y(t),h)
in eine Taylorreihe bis zur ersten Ordnung bzgl. h in h=0.
c) Zeigen Sie, dass die drei Bedingungen
1) [mm] \sum_{i=1}^m \gamma_i [/mm] = 1
2) [mm] \sum_{i=1}^m \alpha_i\gamma_i =\frac{1}{2}
[/mm]
3) [mm] \forall [/mm] i=1,...,m: [mm] \sum_{j=1}^{i-1} \beta_{i,j}=\alpha_i
[/mm]
hinreichend dafür sind, dass das Runge-Kutta-Verfahren Konsistenzordnung mindestens zwei hat. |
Hallo,
ich komme mit der Aufgabe nicht richtig weiter. Die Taylorentwicklung von y war nicht so das Problem,
y(t+h) = y(t) + [mm] hf(t,y(t))+\frac{h^2}{2}f_t [/mm] + [mm] \frac{h^2}{2}f_yf [/mm] + [mm] O(h^3)
[/mm]
allerdings hänge ich jetzt bei b) an der Taylorentwicklung fest. Ich habe erstmal versucht für die einzelnen [mm] k_i [/mm] eine Taylorentwicklung anzugeben:
[mm] k_1 [/mm] = [mm] f(t_k, y(t_k))
[/mm]
[mm] k_2 [/mm] = [mm] f(t_k+\alpha_2 [/mm] h, [mm] y_k [/mm] + [mm] h\beta_{21}k_1) [/mm] = f + [mm] \alpha_2 f_t [/mm] + [mm] \beta_{21} f_y [/mm] f
[mm] k_3 [/mm] = [mm] f(t_k+\alpha_3 [/mm] h, [mm] y_k [/mm] + [mm] h(\beta_{31}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{32}k_2)) [/mm] = f + [mm] \alpha_3 f_t [/mm] + [mm] (\beta_{31}f_y [/mm] f + [mm] \beta_{32} f_y [/mm] f)
usw.
Stimmt das überhaupt schon?
Bei c) wollte ich dann den Ansatz [mm] \frac{y(t+h)-y(t)}{h} [/mm] - [mm] \phi [/mm] machen, aber das ergab nichts sinnvolles.
Hat da jemand ein paar Tipps? Lg
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Hallo adefg,
> Sei y' = f(t,y(t)) gegeben. Wir betrachten ein zugehöriges
> m-stufiges Runge-Kutta-Verfahren
> [mm]y_{j+1}=y_j[/mm] + [mm]h\cdot\sum_{i=1}^m \gamma_i k_i(t_j,y_j,h_j).[/mm]
>
> a) Gehen Sie von der Taylorordnung zweiter Ordnung von y(t)
> bzgl t aus und ersetzen Sie konsequent y'(t) durch
> f(t,y(t)). Berechnen Sie auf diese Weise eine Darstellung
> der Taylorentwicklung von y in f und den partiellen
> Ableitungen [mm]f_t[/mm] und [mm]f_y.[/mm]
>
> b) Entwickeln Sie die Runge-Kutta-Inkrementfunktion aus der
> Vorlesung
> [mm]\phi(t,y(t),h)[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^m \gamma_i[/mm] k(t,y(t),h)
> in eine Taylorreihe bis zur ersten Ordnung bzgl. h in h=0.
>
> c) Zeigen Sie, dass die drei Bedingungen
> 1) [mm]\sum_{i=1}^m \gamma_i[/mm] = 1
> 2) [mm]\sum_{i=1}^m \alpha_i\gamma_i =\frac{1}{2}[/mm]
> 3) [mm]\forall[/mm]
> i=1,...,m: [mm]\sum_{j=1}^{i-1} \beta_{i,j}=\alpha_i[/mm]
>
> hinreichend dafür sind, dass das Runge-Kutta-Verfahren
> Konsistenzordnung mindestens zwei hat.
> Hallo,
> ich komme mit der Aufgabe nicht richtig weiter. Die
> Taylorentwicklung von y war nicht so das Problem,
> y(t+h) = y(t) + [mm]hf(t,y(t))+\frac{h^2}{2}f_t[/mm] +
> [mm]\frac{h^2}{2}f_yf[/mm] + [mm]O(h^3)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> allerdings hänge ich jetzt bei b) an der Taylorentwicklung
> fest. Ich habe erstmal versucht für die einzelnen [mm]k_i[/mm] eine
> Taylorentwicklung anzugeben:
> [mm]k_1[/mm] = [mm]f(t_k, y(t_k))[/mm]
> [mm]k_2[/mm] = [mm]f(t_k+\alpha_2[/mm] h, [mm]y_k[/mm] +
> [mm]h\beta_{21}k_1)[/mm] = f + [mm]\alpha_2 f_t[/mm] + [mm]\beta_{21} f_y[/mm] f
Hier fehlt doch das h:
[mm]k_2 = f(t_k+\alpha_2 h, y_k + h\beta_{21}k_1) = f + \red{h}\alpha_2 f_t + \red{h}\beta_{21} f_y f[/mm]
> [mm]k_3[/mm] = [mm]f(t_k+\alpha_3[/mm] h, [mm]y_k[/mm] + [mm]h(\beta_{31}k_1[/mm] +
> [mm]\beta_{32}k_2))[/mm] = f + [mm]\alpha_3 f_t[/mm] + [mm](\beta_{31}f_y[/mm] f +
> [mm]\beta_{32} f_y[/mm] f)
Damit stimmt [mm]k_{3}[/mm] auch nicht.
> usw.
>
> Stimmt das überhaupt schon?
>
> Bei c) wollte ich dann den Ansatz [mm]\frac{y(t+h)-y(t)}{h}[/mm] -
> [mm]\phi[/mm] machen, aber das ergab nichts sinnvolles.
> Hat da jemand ein paar Tipps? Lg
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 28.10.2012 | | Autor: | adefg |
Oh, stimmt.
Dann gilt also
[mm] k_i [/mm] = f + [mm] h\cdot\sum_{j=1}^{i-1}\beta_{mj} f_y [/mm] f
Und damit [mm] \phi [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^m \left(\gamma_i f +h\gamma_i \alpha_i f_t + h\gamma_i \sum_{j=1}^{i-1}\beta_{ij}f_y f\right) [/mm] + [mm] O(h^2)
[/mm]
Jetzt benute ich [mm] \frac{y(t+h)-y(t)}{h} [/mm] - [mm] \phi
[/mm]
= f + [mm] \frac{h}{2}f_t [/mm] + [mm] \frac{h}{2} f_y [/mm] f - [mm] \sum_{i=1}^m \left(\gamma_i f +h\gamma_i \alpha_i f_t + h\gamma_i \sum_{j=1}^{i-1}\beta_{ij}f_y f\right) [/mm] + [mm] O(h^2)
[/mm]
Und kann die Summen mit den drei gegebenen Bedingungen vereinfachen und erhalte am Ende [mm] O(h^2). [/mm]
Verstehe ich das so richtig, dass ich die Bedingungen 1) - 3) benutzen darf oder muss ich aus dieser Differenz folgern, dass die Bedingungen gelten müssen???
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Hallo adefg,
> Oh, stimmt.
>
> Dann gilt also
> [mm]k_i[/mm] = f + [mm]h\cdot\sum_{j=1}^{i-1}\beta_{mj} f_y[/mm] f
>
Genauer:
[mm]k_i = f + h\cdot\sum_{j=1}^{i-1}\beta_{mj} f_y f+O(h^2)[/mm]
Dann gilt das folgende.
> Und damit [mm]\phi[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^m \left(\gamma_i f +h\gamma_i \alpha_i f_t + h\gamma_i \sum_{j=1}^{i-1}\beta_{ij}f_y f\right)[/mm]
> + [mm]O(h^2)[/mm]
>
>
> Jetzt benute ich [mm]\frac{y(t+h)-y(t)}{h}[/mm] - [mm]\phi[/mm]
> = f + [mm]\frac{h}{2}f_t[/mm] + [mm]\frac{h}{2} f_y[/mm] f - [mm]\sum_{i=1}^m \left(\gamma_i f +h\gamma_i \alpha_i f_t + h\gamma_i \sum_{j=1}^{i-1}\beta_{ij}f_y f\right)[/mm]
> + [mm]O(h^2)[/mm]
>
> Und kann die Summen mit den drei gegebenen Bedingungen
> vereinfachen und erhalte am Ende [mm]O(h^2).[/mm]
> Verstehe ich das so richtig, dass ich die Bedingungen 1) -
> 3) benutzen darf oder muss ich aus dieser Differenz
> folgern, dass die Bedingungen gelten müssen???
Aus dieser Differenz mußt Du folgern,
daß die genannten Bedingungen gelten müssen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 So 28.10.2012 | | Autor: | adefg |
Ah, naja das ist durch Koeffizientenvergleich ja eigentlich genauso einfach wie ein Einsetzen der Bedingungen.
Vielen Dank!!
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