Konstruieren Sie eine Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:34 Sa 16.02.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Konstruieren Sie eine Matrix A [mm] \in M_{3}(\IR), [/mm] sodass A alle drei folgenden Eigenschaften erfüllt:
(i) 1 [mm] \in [/mm] EW(A)
(ii) [mm] A^{2} [/mm] = [mm] E_{3}
[/mm]
(iii) [mm] A\vektor{1\\1\\1}=\vektor{-1\\-1\\-1} [/mm] |
Leider keine Ansätze. Eine generelle Frage, welche Matrizen sind zu sich selbst invers? Ich bin natürlich zunächst wegen (iii) von [mm] -E_{3} [/mm] ausgegangen, aber das wäre zu einfach gewesen und 1 ist kein Eigenwert von [mm] -E_{3}. [/mm] Hat mir jemand ein Tipp?
Viele Grüße
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Hallo locke123,
> Konstruieren Sie eine Matrix A [mm]\in M_{3}(\IR),[/mm] sodass A
> alle drei folgenden Eigenschaften erfüllt:
>
> (i) 1 [mm]\in[/mm] EW(A)
> (ii) [mm]A^{2}[/mm] = [mm]E_{3}[/mm]
> (iii) [mm]A\vektor{1\\
1\\
1}=\vektor{-1\\
-1\\
-1}[/mm]
> Leider keine Ansätze. Eine generelle Frage, welche
> Matrizen sind zu sich selbst invers?
Da fällt mir gerade kein Kriterium ein ...
> Ich bin natürlich
> zunächst wegen (iii) von [mm]-E_{3}[/mm] ausgegangen, aber das
> wäre zu einfach gewesen und 1 ist kein Eigenwert von
> [mm]-E_{3}.[/mm] Hat mir jemand ein Tipp?
Wegen Bed. (i) und (iii) sind [mm]\pm 1[/mm] Eigenwerte von [mm]A[/mm], [mm] $x=\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert -1
Der Einfachheit halber würde ich mir eine Dreiecksmatrix basteln. Bei der stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.
Ich habe mit einer oberen Dreiecksmatrix angefangen:
[mm]A=\pmat{1&x&y\\
0&a&z\\
0&0&-1}[/mm]
Dann verarbeite mal (iii), dann geht's schnell ...
>
>
> Viele Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 So 17.02.2013 | | Autor: | locke123 |
Vielen Dank. Ich habe mir jetzt nochmal den Wikipedia-Artikel der Dreicksmatrizen genauer angeschaut und mich nocheinmal damit beschäftig, jetzt habe ich die Aufgabe lösen können :)
http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksmatrix
Eine Matrix wäre z.B.:
[mm] A=\pmat{ 1 & 0&-2 \\ 0 & -1&0\\0&0&-1 }
[/mm]
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:51 So 17.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Konstruieren Sie eine Matrix A [mm]\in M_{3}(\IR),[/mm] sodass A
> alle drei folgenden Eigenschaften erfüllt:
>
> (i) 1 [mm]\in[/mm] EW(A)
> (ii) [mm]A^{2}[/mm] = [mm]E_{3}[/mm]
> (iii) [mm]A\vektor{1\\1\\1}=\vektor{-1\\-1\\-1}[/mm]
> Leider keine Ansätze. Eine generelle Frage, welche
> Matrizen sind zu sich selbst invers?
na, Du kannst durchaus auch ein GLS hinschreiben für $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrizen,
und gucken, ob Du was "einfaches" ausrechnen kannst.
Was man direkt schonmal sagen könnte: Aus [mm] $A^2=E_3$ [/mm] folgt in notwendiger
Weise [mm] $\det(A^2)=\det(A)*\det(A)=\det(A)^2=1$ [/mm] und damit [mm] $|\det(A)|=1$ [/mm] bzw. [mm] $\det(A) \in \{\,-\,1,\;1\}\,.$
[/mm]
Damit reduziert sich schonmal die Suche minimal...
Gruß,
Marcel
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