Konstruktion Brownsch Bewegung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Mo 05.03.2012 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen
Wie im Titel erwähnt, beschäftige ich mich mit der Konstruktion von BM. Leider verstehe ich folgenden Schritt in Beweis nicht:
Sei $ [mm] X_{n,k}$ [/mm] i.i.d. standard normalverteilt und [mm] $f_{n,k}$ [/mm] Schauderfunktionen.
[mm]W_t^n=\sum^n_{i=0}\sum_{k=1}^{2^i} X_{n,k}f_{n,k}(t) [/mm]
für ein [mm] $t\in [/mm] [a,b]$. Wieso gilt:
1. [mm] E[(W_t^n)^2]=\sum^n_{i=0}\sum_{k=1}^{2^i} E[X^2_{n,k}]f^2_{n,k}(t)[/mm]
2. Wenn ich weiss, dass [mm] $W_t^n$ [/mm] P-f.s. und in [mm] $L^p$ [/mm] gegen $ W$ konvergiert. Wieso kann ich dann folgendes vertauschen:
[mm] E[W_tW_s] = E[\lim_{n\to \infty}(\sum^n_{i=0}\sum_{k=1}^{2^i} X_{n,k}f_{n,k}(t)\sum^n_{i=0}\sum_{k=1}^{2^i} X_{n,k}f_{n,k}(s)]=\lim_{n\to \infty}E[(\sum^n_{i=0}\sum_{k=1}^{2^i} X_{n,k}f_{n,k}(t)\sum^n_{i=0}\sum_{k=1}^{2^i} X_{n,k}f_{n,k}(s)]][/mm]
Ich weiss ja nicht, dass die Summanden positiv sind.
Danke für die Erklärung!
Gruss
KalOR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mi 07.03.2012 | | Autor: | th0m |
Hi,
bei 2. wurde gewiss der Satz über majorisierte Konvergenz benutzt. Bei 1. würde ich intuitiv sagen, dass das stimmt, weil die [mm] $X_i$ [/mm] iid sind.
Leider ist mein Studium schon etwas länger her :(
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Hiho,
schreib dir den ersten Erwartungswert mal ausführlich hin mithilfe des Cauchy-Produkts.
Du wirst feststellen, dass die Mischterme wegfallen, da sie Null werden. Wie th0m bereits schrieb sind die [mm] X_{n,k} [/mm] ja standardnormalverteilt, d.h. [mm] $E[X_{n,k}]= [/mm] 0$!
Beim zweiten gibt es eine Majorisierende [mm] \mathcal{L}^1 [/mm] - Funktion, wie die genau aussieht kann ich dir leider erst am Donnerstag abend sagen, da ich dann meine Unterlagen wieder parat hab 
Aber es gibt sie ^^
MFG,
Gono.
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