Konstruktion Lebesgue-Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:10 Di 23.03.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo?
Wer kann mir kurz und knapp die Begründung dafür sagen, warum man nicht analog zu den Riemann-Summen gleich mit
[mm] \summe_{i=1}^n{f(x^n_i) 1_{f^{-1}(B^n_i)}} [/mm] mit [mm] x_i\in f^{-1}(B_i) [/mm]
als gleichmäßig approximierende "einfache" Funktionsfolge starten kann, wobei die [mm] B^n_i [/mm] eine Folge immer feinerer gleichmäßiger Zerlegungen des Bildbereichs sein sollen und f meßbar und beliebiges Vorzeichen hat.
Warum die Einschränkung zu Anfang auf [mm] f\ge [/mm] 0? So beobachte ich es zumindest immer in den verschiedensten Darstellungen in der Literatur.
LG
gfm
Habe diese Frage nur hier gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Di 23.03.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Ist meine Frage zu tumb? Wundere mich nur, da ich in letzter Zeit wenig Antworten auf meine Fragen bekomme...
Bin ja auch fleißig beim Antworten...
Schade...
LG
gfm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Di 23.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wer kann mir kurz und knapp die Begründung dafür sagen,
> warum man nicht analog zu den Riemann-Summen gleich mit
>
> [mm]\summe_{i=1}^n{f(x^n_i) 1_{f^{-1}(B^n_i)}}[/mm] mit [mm]x_i\in f^{-1}(B_i)[/mm]
Und [m]f(x^n_i)[/m] ist das Minimum von f auf [m]B_i[/m]? Oder soll das hinten auch [m]x^n_i[/m] sein?
> als gleichmäßig approximierende "einfache" Funktionsfolge
> starten kann, wobei die [mm]B^n_i[/mm] eine Folge immer feinerer
> gleichmäßiger Zerlegungen des Bildbereichs sein sollen
> und f meßbar und beliebiges Vorzeichen hat.
Weil diese Definition im Allgemeinen nicht wohldefiniert ist, dh der Wert des Integrals ist abhängig von der genauen Folge der Verfeinerung, die du wählst. Das ist bei [m]f\ge 0[/m] nicht der Fall. (Das typische Gegenbeispiel ist [m]\sin(x)/x[/m])
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mi 24.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Wer kann mir kurz und knapp die Begründung dafür sagen,
> > warum man nicht analog zu den Riemann-Summen gleich mit
> >
> > [mm]\summe_{i=1}^n{f(x^n_i) 1_{f^{-1}(B^n_i)}}[/mm] mit [mm]x_i\in f^{-1}(B_i)[/mm]
>
> Und [m]f(x^n_i)[/m] ist das Minimum von f auf [m]B_i[/m]? Oder soll das
Nein, irgendein [mm]x^n_i\in B^n_i)[/mm]. Weil dann auch schon gesichert ist, dass sich die Treppenfunktion und f um maximal des maximalen Abstands zweier Werte in [mm]B^n_i[/mm] unterscheiden.
Z.B. [mm]\bigcup_{i=-N(n)}^{N(n)-1} [\frac{i}{M(n)}, \frac{i+1}{M(n)})[/mm]
für den Bildbereich, wobei [mm]M,N:\IN\to\IN^+[/mm] Funktionen auf den natürlichen Zahlen mit Werten in den positiven natürlichen Zahlen sind, so dass [mm]M(n), N(n)[/mm] streng monoton wachsend und unbeschränkt sind und auch [mm]N(n)/M(n)[/mm] streng monoton wachsend und unbeschränkt ist.
> hinten auch [m]x^n_i[/m] sein?
Zu f erhalten wir dann eine Folge von Treppenfunktionen.
[mm]t(f,n):=\summe_{i=1}^n{f(x^n_i) 1_{f^{-1}(B^n_i)}}[/mm] mit [mm]x^n_i\in f^{-1}(B^n_i)[/mm]
deren Integral
[mm]\summe_{i=1}^n{f(x^n_i) \mu(f^{-1}(B^n_i)) [/mm] (*)
ist.
Funktionen [mm]f[/mm] mit [mm]\mu(f^{-1}(\pm\infty))>0[/mm] werden separat behandelt. Wenn das Maß null ist auf den Mengen, wo sie [mm]\pm\infty[/mm] annehmen gibt es sowie so keinen Beitrag zum Integral.
Wieso kann der Grenzwert von (*), wenn n gegen unendlich geht, nicht als Integral genommen werden?
> > als gleichmäßig approximierende "einfache" Funktionsfolge
> > starten kann, wobei die [mm]B^n_i[/mm] eine Folge immer feinerer
> > gleichmäßiger Zerlegungen des Bildbereichs sein sollen
> > und f meßbar und beliebiges Vorzeichen hat.
>
> Weil diese Definition im Allgemeinen nicht wohldefiniert
> ist, dh der Wert des Integrals ist abhängig von der
> genauen Folge der Verfeinerung, die du wählst. Das ist bei
> [m]f\ge 0[/m] nicht der Fall. (Das typische Gegenbeispiel ist
> [m]\sin(x)/x[/m])
Ich kenne dieses Beipiel nur in dem Zusammenhang, dass es (uneigentlich) Riemann-integrierbar ist, aber nicht Lebesgue-integrierbar, da die Einzelintegrale über den positiven und negativen Teil nicht existieren. Meinst Du das?
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mi 24.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Funktionen [mm]f[/mm] mit [mm]\mu(f^{-1}(\pm\infty))>0[/mm] werden separat
> behandelt. Wenn das Maß null ist auf den Mengen, wo sie
> [mm]\pm\infty[/mm] annehmen gibt es sowie so keinen Beitrag zum
> Integral.
Und wie machst du das?
> Wieso kann der Grenzwert von (*), wenn n gegen unendlich
> geht, nicht als Integral genommen werden?
Könnte man. Man müsste sich auch überlegen, dass es unbhängig von der Wahl von [m]x_i[/m] ist, aber man könnte ja immer das Minimum nehmen, dann hat man eine präzise Definition.
Und warum macht man es nicht? Weil eben zB mit meiner schon genannten Funktion dieses Integral dann keine guten Eigenschaften mehr, hat also ie Konvergenzsätze nicht mehr gelten. Warum? Wegen dem, was ich geschrieben habe ...
> > Weil diese Definition im Allgemeinen nicht wohldefiniert
> > ist, dh der Wert des Integrals ist abhängig von der
> > genauen Folge der Verfeinerung, die du wählst. Das ist bei
> > [m]f\ge 0[/m] nicht der Fall. (Das typische Gegenbeispiel ist
> > [m]\sin(x)/x[/m])
>
> Ich kenne dieses Beipiel nur in dem Zusammenhang, dass es
> (uneigentlich) Riemann-integrierbar ist, aber nicht
> Lebesgue-integrierbar, da die Einzelintegrale über den
> positiven und negativen Teil nicht existieren. Meinst Du
> das?
Nein, ich meine diese Funktion - aber du findest für jede Relle c eine aufsteigende Folge von meßbaren Teilmengen [m]A_n[/m] mit [m]A_n\to\IR+[/m] und [m]c=\lim_{n\to\infty}\int_{A_n} \sin(x)/x[/m]. Deine obige Definition ergäbe einen speziellen wert, und man könnte mit deinem Integral kein Konvergenzsätze mehr beweisen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mi 24.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Funktionen [mm]f[/mm] mit [mm]\mu(f^{-1}(\pm\infty))>0[/mm] werden separat
> > behandelt. Wenn das Maß null ist auf den Mengen, wo sie
> > [mm]\pm\infty[/mm] annehmen gibt es sowie so keinen Beitrag zum
> > Integral.
>
> Und wie machst du das?
Wenn nur [mm]\mu(f^{-1}(+\infty))>0[/mm], dann [mm]+\infty)[/mm]
Wenn nur [mm]\mu(f^{-1}(-infty))>0[/mm], dann [mm]-\infty)[/mm]
Wenn beides, dann nicht definiert.
>
> > Wieso kann der Grenzwert von (*), wenn n gegen unendlich
> > geht, nicht als Integral genommen werden?
>
> Könnte man. Man müsste sich auch überlegen, dass es
> unbhängig von der Wahl von [m]x_i[/m] ist, aber man könnte ja
> immer das Minimum nehmen, dann hat man eine präzise
> Definition.
Darum geht es doch gar nicht. Das ganze funktioniert doch, wenn [mm]\mu(\Omega)<\infty[/mm] und die Funktion beschränkt ist, oder nicht?
Und wenn [mm]\mu(\Omega)=\infty[/mm], dann kann man das Integral als Grenzwert über eine Folge von meßbaren Mengen endlichen Maßes, die in Vereinigung [mm] \Omega [/mm] ergeben definieren, oder? Und wenn f nicht beschränkt ist, dann bildet man noch den Limes für [mm]-n\vee (f\wedge n)[/mm]
Das Riemann-Integral wird ja zuerst auch nur für ein kompaktes Intervall und beschränkte Funktionen definiert. Und wenn man das nicht hat ist man schon bei den Definitionen für uneigentliche Riemann-Integral, die auch mit zusätzlichen Grenzprozessen definiert werden müssen, oder etwa nicht?
>
> Und warum macht man es nicht? Weil eben zB mit meiner schon
> genannten Funktion dieses Integral dann keine guten
> Eigenschaften mehr, hat also ie Konvergenzsätze nicht mehr
> gelten. Warum? Wegen dem, was ich geschrieben habe ...
>
> > > Weil diese Definition im Allgemeinen nicht wohldefiniert
> > > ist, dh der Wert des Integrals ist abhängig von der
> > > genauen Folge der Verfeinerung, die du wählst. Das ist bei
> > > [m]f\ge 0[/m] nicht der Fall. (Das typische Gegenbeispiel ist
> > > [m]\sin(x)/x[/m])
Aber dir ist klar, dass ich den Bildbereich zerlege, oder?
> >
> > Ich kenne dieses Beipiel nur in dem Zusammenhang, dass es
> > (uneigentlich) Riemann-integrierbar ist, aber nicht
> > Lebesgue-integrierbar, da die Einzelintegrale über den
> > positiven und negativen Teil nicht existieren. Meinst Du
> > das?
>
> Nein, ich meine diese Funktion - aber du findest für jede
> Relle c eine aufsteigende Folge von meßbaren Teilmengen
> [m]A_n[/m] mit [m]A_n\to\IR+[/m] und [m]c=\lim_{n\to\infty}\int_{A_n} \sin(x)/x[/m].
> Deine obige Definition ergäbe einen speziellen wert, und
> man könnte mit deinem Integral kein Konvergenzsätze mehr
> beweisen.
Kannst Du das skizzieren, oder sagen wo ich das nachlesen kann?
LG und danke für dein Feedback.
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mi 24.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Darum geht es doch gar nicht.
Doch, eine saubere Definition ist immer sinnvoll ...
> Das ganze funktioniert doch,
> wenn [mm]\mu(\Omega)<\infty[/mm] und die Funktion beschränkt ist,
> oder nicht?
Dann ist die Funktion im üblichen Sinne Leb.int.bar ...
> Und wenn [mm]\mu(\Omega)=\infty[/mm], dann kann man das Integral
> als Grenzwert über eine Folge von meßbaren Mengen
> endlichen Maßes, die in Vereinigung [mm]\Omega[/mm] ergeben
> definieren, oder? Und wenn f nicht beschränkt ist, dann
> bildet man noch den Limes für [mm]-n\vee (f\wedge n)[/mm]
Was soll das letzte heißen? Ich kenn mich mit Stochastik-Notationen nicht so aus ...
Zum ersteren: wie ich schon mehrfach schrieb - im Allgemeinen hängt der Wert des Integrals dann von deiner genauen Wahl ab. Du gehst leider nicht auf mein Argument ein, dass dann eben nicht die guten und tollen Konvergenzeigenschaften gelten. Das ist doch der Punkt!
> Das Riemann-Integral wird ja zuerst auch nur für ein
> kompaktes Intervall und beschränkte Funktionen definiert.
> Und wenn man das nicht hat ist man schon bei den
> Definitionen für uneigentliche Riemann-Integral, die auch
> mit zusätzlichen Grenzprozessen definiert werden müssen,
> oder etwa nicht?
Ich weiß nicht worauf du hinauswillst. Der Cauchyhauptwert von Sinus ist als ungerade Funktion ja auch 0 (CHW: [m]\lim_{c\to\infty}\int_{-c}^c f[/m]), aber man "sieht" doch, dass es nicht intb.bar sein sollte. Ähnlich verhält sich das mit dem uneigentlichen Riemanintegral - die Definiton erzwingt eine besondere Klasse eines Grenzprozesses.
> > > > Weil diese Definition im Allgemeinen nicht wohldefiniert
> > > > ist, dh der Wert des Integrals ist abhängig von der
> > > > genauen Folge der Verfeinerung, die du wählst. Das ist bei
> > > > [m]f\ge 0[/m] nicht der Fall. (Das typische Gegenbeispiel ist
> > > > [m]\sin(x)/x[/m])
>
> Aber dir ist klar, dass ich den Bildbereich zerlege, oder?
Ja. Und?
> > Nein, ich meine diese Funktion - aber du findest für jede
> > Relle c eine aufsteigende Folge von meßbaren Teilmengen
> > [m]A_n[/m] mit [m]A_n\to\IR+[/m] und [m]c=\lim_{n\to\infty}\int_{A_n} \sin(x)/x[/m].
> > Deine obige Definition ergäbe einen speziellen wert, und
> > man könnte mit deinem Integral kein Konvergenzsätze mehr
> > beweisen.
>
> Kannst Du das skizzieren, oder sagen wo ich das nachlesen
> kann?
Im Wesentliche - der Positiv- und Negtaivteil integrieren sich beide zu Unendlich. Dann konstruiere ich mir eine Wechselsumme, die mal über, mal unter c liegt, und zwar so, dass die Differenzen minorisiert von der harmonsichen Reihe sind. Da muss man etwas basteln, genau hab ich es auch nie gemacht, aber man kann es sich für uneigentlich konvergente Reihen überlegen.
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:02 Do 25.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Darum geht es doch gar nicht.
>
> Doch, eine saubere Definition ist immer sinnvoll ...
>
> > Das ganze funktioniert doch,
> > wenn [mm]\mu(\Omega)<\infty[/mm] und die Funktion beschränkt ist,
> > oder nicht?
>
> Dann ist die Funktion im üblichen Sinne Leb.int.bar ...
Genau. Und dann kann die Konstruktion analog zu Riemann laufen.
>
> > Und wenn [mm]\mu(\Omega)=\infty[/mm], dann kann man das Integral
> > als Grenzwert über eine Folge von meßbaren Mengen
> > endlichen Maßes, die in Vereinigung [mm]\Omega[/mm] ergeben
> > definieren, oder? Und wenn f nicht beschränkt ist, dann
> > bildet man noch den Limes für [mm]-n\vee (f\wedge n)[/mm]
>
> Was soll das letzte heißen? Ich kenn mich mit
> Stochastik-Notationen nicht so aus ...
[mm] \wedge [/mm] ist das infimum und [mm] \vee [/mm] das supremum.
>
> Zum ersteren: wie ich schon mehrfach schrieb - im
> Allgemeinen hängt der Wert des Integrals dann von deiner
> genauen Wahl ab. Du gehst leider nicht auf mein Argument
> ein, dass dann eben nicht die guten und tollen
> Konvergenzeigenschaften gelten. Das ist doch der Punkt!
Vielleicht weil ich genau da meine Schwierigkeiten habe und Hilfe brauche?
Bis zum Abschneiden [mm]-n\vee (f\wedge n)[/mm] für nach oben und unten nicht beschränkte Funktionen läuft es in
http://page.mi.fu-berlin.de/sfroehli/ss2009/vorlesung05.pdf
genauso wie oben beschrieben. Für solche Funktionen wird dort wie allgemein üblich in der Literatur f^+ und f^- getrennt betrachtet.
>
> > Das Riemann-Integral wird ja zuerst auch nur für ein
> > kompaktes Intervall und beschränkte Funktionen definiert.
> > Und wenn man das nicht hat ist man schon bei den
> > Definitionen für uneigentliche Riemann-Integral, die auch
> > mit zusätzlichen Grenzprozessen definiert werden müssen,
> > oder etwa nicht?
>
> Ich weiß nicht worauf du hinauswillst. Der Cauchyhauptwert
> von Sinus ist als ungerade Funktion ja auch 0 (CHW:
> [m]\lim_{c\to\infty}\int_{-c}^c f[/m]), aber man "sieht" doch,
> dass es nicht intb.bar sein sollte. Ähnlich verhält sich
> das mit dem uneigentlichen Riemanintegral - die Definiton
> erzwingt eine besondere Klasse eines Grenzprozesses.
Das sollte sich aber auch im L-Integral nach obiger Konstruktion bemerkbar machen, denn man soll ja eine aufsteigende Folge von meßbaren Mengen [mm] \Omega_n [/mm] nehmen, die gegen die Gesamtmenge "konvergiert". Das Argument mit dem Umsortieren wie bei nicht absolut konvergenten Reihen sollte durch eine geeignete Wahl der [mm] \Omega_n [/mm] darstellbar sein.
Dann aber fliegt sin raus weil sich eben über [mm] \IR [/mm] kein eindeutiger Grenzwert ergibt.
> > Aber dir ist klar, dass ich den Bildbereich zerlege, oder?
>
> Ja. Und?
Weil "beliebig" nicht mehr so einfach ist, wie beim Riemann-Integral wo bei der Zerlegung nicht der Verlauf der funktione berücksichtigt wird. Bei der Immmer feieneren Zerlegung des Bildbereichs landet man bei [mm] A_i^n [/mm] im Argumentbereich bei Werten für x, sodaß f(x) einen sehr eingeschränkten Wertebereich hat.
>
> > > Nein, ich meine diese Funktion - aber du findest für jede
> > > Relle c eine aufsteigende Folge von meßbaren Teilmengen
> > > [m]A_n[/m] mit [m]A_n\to\IR+[/m] und [m]c=\lim_{n\to\infty}\int_{A_n} \sin(x)/x[/m].
> > > Deine obige Definition ergäbe einen speziellen wert, und
> > > man könnte mit deinem Integral kein Konvergenzsätze mehr
> > > beweisen.
Man würde feststellen, dass es für bestimmte Funktionen keinen eindeutigen Wert gibt. Dann sind die halt nicht inegrierbar und für die anderen (z.B. beschränkte) sollte doch alles gut sein, oder?
> >
> > Kannst Du das skizzieren, oder sagen wo ich das nachlesen
> > kann?
>
> Im Wesentliche - der Positiv- und Negtaivteil integrieren
> sich beide zu Unendlich. Dann konstruiere ich mir eine
> Wechselsumme, die mal über, mal unter c liegt, und zwar
> so, dass die Differenzen minorisiert von der harmonsichen
> Reihe sind. Da muss man etwas basteln, genau hab ich es
> auch nie gemacht, aber man kann es sich für uneigentlich
> konvergente Reihen überlegen.
Wie, gesagt, wenn das passiert, ist die Funktion halt nicht (eindeutig) integrierbar.
Summa summarum bin ich eigentlich an nur einem interessiert:
Wenn man nicht den Weg über f^+ und f^- geht, aber sonst es so wie in der obigen Quelle macht, was verliert man dan konkret und wieso? Kannst du mir ein konkretes Beispiel geben?
Und vielen Dank für Deine Geduld. :)
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Sa 27.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Di 23.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Das ist ja so eine dieser Fragen, bei denen man sich eben nie ganz sicher sein kann sie erschöpfend beantworten zu können (zumindest bin ich es mir nicht; von daher bleibt sie auch für andere offen).
Ein Problem ist, so wie ich das sehe, die Definition des Integrals für einfache Funktionen. Man erweitert ja in der Maßtheorie die Rechenregeln von [mm] \IR [/mm] auf [mm] \overline{\IR} [/mm] (zumindest teilweise). Ist jetzt [mm] f=\summe_{i=1}^{n}a_i\chi_{A_i} [/mm] eine einfache Funktion, und irgendwelche [mm] A_i [/mm] (mindestens 3) haben unendliches Maß und die Werte auf diesen verschiedene Vorzeichen, so ist der Wert des Integrals von f:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_i \mu (A_i) [/mm]
von der Summationsreihenfolge abhängig.
Inwieweit dieses Problem sonst noch umgangen werden könnte, vermag ich aber nicht zu sagen.
Gruß,
Doing
Edit: Schön zu sehen, dass mein Erklärungsversuch in die richtige Richtung ging ;).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Do 25.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
> Das ist ja so eine dieser Fragen, bei denen man sich eben
> nie ganz sicher sein kann sie erschöpfend beantworten zu
> können (zumindest bin ich es mir nicht; von daher bleibt
> sie auch für andere offen).
>
> Ein Problem ist, so wie ich das sehe, die Definition des
> Integrals für einfache Funktionen. Man erweitert ja in der
> Maßtheorie die Rechenregeln von [mm]\IR[/mm] auf [mm]\overline{\IR}[/mm]
> (zumindest teilweise). Ist jetzt
> [mm]f=\summe_{i=1}^{n}a_i\chi_{A_i}[/mm] eine einfache Funktion, und
> irgendwelche [mm]A_i[/mm] (mindestens 3) haben unendliches Maß und
> die Werte auf diesen verschiedene Vorzeichen, so ist der
> Wert des Integrals von f:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}a_i \mu (A_i)[/mm]
> von der
> Summationsreihenfolge abhängig.
>
> Inwieweit dieses Problem sonst noch umgangen werden
> könnte, vermag ich aber nicht zu sagen.
>
> Gruß,
> Doing
>
> Edit: Schön zu sehen, dass mein Erklärungsversuch in die
> richtige Richtung ging ;).
Wenn f auf Mengen mit von Null verschiedenem Maß [mm] \pm\infty [/mm] wird wird Sie halt als nicht integrierbar deklariert. Wenn nur ein Vorzeichen auftaucht, ist das Integral entsprechend [mm] \pm\infty.
[/mm]
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Do 25.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Wenn f auf Mengen mit von Null verschiedenem Maß [mm]\pm\infty[/mm]
> wird wird Sie halt als nicht integrierbar deklariert. Wenn
> nur ein Vorzeichen auftaucht, ist das Integral entsprechend
> [mm]\pm\infty.[/mm]
Dann verlierst du aber die Vektorraumstruktur auf dem Raum der integrierbaren Funktionen. Blöd.
Man darf nicht aus den Augen verlieren, dass das Ziel ein möglichst großer Banach(!!!)raum integrierbarer Funktionen ist, in dem zugleich gute Konvergenzsätze gelten.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Do 25.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Wenn f auf Mengen mit von Null verschiedenem Maß [mm]\pm\infty[/mm]
> > wird wird Sie halt als nicht integrierbar deklariert. Wenn
> > nur ein Vorzeichen auftaucht, ist das Integral entsprechend
> > [mm]\pm\infty.[/mm]
> Dann verlierst du aber die Vektorraumstruktur auf dem Raum
> der integrierbaren Funktionen. Blöd.
> Man darf nicht aus den Augen verlieren, dass das Ziel ein
> möglichst großer Banach(!!!)raum integrierbarer
> Funktionen ist, in dem zugleich gute Konvergenzsätze
> gelten.
Folgt man der üblichen Konstruktion, so werden erst die Integrale über den Positiv- und Negativanteil bestimmt.
[mm] \integral{f^+dx}
[/mm]
[mm] \integral{f^-dx}
[/mm]
Wenn dann höchstens eins davon [mm] \infty [/mm] ist, definiert man üblicherweise
[mm] \integral{fdx}:=\integral{f^+dx}-\integral{f^-dx}. [/mm] (*)
Das ist doch so richtig, oder?
Seien [mm] A_{\pm}:=\{x\in\Omega|f(x)=\pm\infty\}.
[/mm]
Wenn entweder [mm] \mu(A_-)>0 [/mm] oder [mm] \mu(A_+)>0 [/mm] ist (*) entweder [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty. [/mm] Wenn beide Mengen ein von null verschiedenes Maß haben, ist (*) nicht definiert. Wenn f nur auf einer Nullmenge die Werte [mm] \pm\infty [/mm] annimmt, hat das keinen Einfluß auf den Wert des Integrals. Wieso soll dann die obige Deklaration einen Einfluß auf die Vektorraumstruktur haben?
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Fr 26.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Folgt man der üblichen Konstruktion, so werden erst die
> Integrale über den Positiv- und Negativanteil bestimmt.
>
>
> [mm]\integral{f^+dx}[/mm]
> [mm]\integral{f^-dx}[/mm]
>
> Wenn dann höchstens eins davon [mm]\infty[/mm] ist, definiert man
> üblicherweise
>
> [mm]\integral{fdx}:=\integral{f^+dx}-\integral{f^-dx}.[/mm] (*)
>
> Das ist doch so richtig, oder?
Das wird oft definiert, aber letztlich kann man mit diesen Unendlichkeiten nix gescheites mehr machen. In der höheren Analysis rechnest du fast immer in den [mm] $L^p$-Räumen, [/mm] und da werden nur noch Funktionen betrachtet, bei denen [mm] $\int_\Omega |f|^p\ dx<\infty$ [/mm] ist.
> Seien [mm]A_{\pm}:=\{x\in\Omega|f(x)=\pm\infty\}.[/mm]
>
> Wenn entweder [mm]\mu(A_-)>0[/mm] oder [mm]\mu(A_+)>0[/mm] ist (*) entweder
> [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty.[/mm] Wenn beide Mengen ein von null
> verschiedenes Maß haben, ist (*) nicht definiert. Wenn f
> nur auf einer Nullmenge die Werte [mm]\pm\infty[/mm] annimmt, hat
> das keinen Einfluß auf den Wert des Integrals. Wieso soll
> dann die obige Deklaration einen Einfluß auf die
> Vektorraumstruktur haben?
Na ganz einfach weil nach dem was du oben geschrieben hast die beiden funktionen [mm] $\infty\cdot\chi_{[0,1]}$ [/mm] und [mm] $-\infty\cdot\chi_{[1,2]}$ [/mm] jeweils integrierbar sind, aber deren Summe nicht.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 10:28 Fr 26.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Folgt man der üblichen Konstruktion, so werden erst die
> > Integrale über den Positiv- und Negativanteil bestimmt.
> >
> >
> > [mm]\integral{f^+dx}[/mm]
> > [mm]\integral{f^-dx}[/mm]
> >
> > Wenn dann höchstens eins davon [mm]\infty[/mm] ist, definiert man
> > üblicherweise
> >
> > [mm]\integral{fdx}:=\integral{f^+dx}-\integral{f^-dx}.[/mm] (*)
> >
> > Das ist doch so richtig, oder?
> Das wird oft definiert, aber letztlich kann man mit diesen
> Unendlichkeiten nix gescheites mehr machen. In der höheren
> Analysis rechnest du fast immer in den [mm]L^p[/mm]-Räumen, und da
> werden nur noch Funktionen betrachtet, bei denen
> [mm]\int_\Omega |f|^p\ dx<\infty[/mm] ist.
> > Seien [mm]A_{\pm}:=\{x\in\Omega|f(x)=\pm\infty\}.[/mm]
> >
> > Wenn entweder [mm]\mu(A_-)>0[/mm] oder [mm]\mu(A_+)>0[/mm] ist (*) entweder
> > [mm]+\infty[/mm] oder [mm]-\infty.[/mm] Wenn beide Mengen ein von null
> > verschiedenes Maß haben, ist (*) nicht definiert. Wenn f
> > nur auf einer Nullmenge die Werte [mm]\pm\infty[/mm] annimmt, hat
> > das keinen Einfluß auf den Wert des Integrals. Wieso soll
> > dann die obige Deklaration einen Einfluß auf die
> > Vektorraumstruktur haben?
> Na ganz einfach weil nach dem was du oben geschrieben hast
> die beiden funktionen [mm]\infty\cdot\chi_{[0,1]}[/mm] und
> [mm]-\infty\cdot\chi_{[1,2]}[/mm] jeweils integrierbar sind, aber
> deren Summe nicht.
Stimme zu. Ich will aber keinen Vektorraum auf dem Raum der pathologisch unendlichen Funktionen definieren.
Die obige Definition, habe ich dem Bauer entnommen, und das ist ein Standardwerk. "Meine" Definition wollte ich dem nur anpassen.
Darüberhinaus hat man in [mm]L^p[/mm]-Räumen ja nur Funktionen, die ein endliches Integral haben und da möchte man doch die Vektoraumstruktur haben. Dann habe ich doch aber keine Funktionen dabei, die auf Mengen vom Maß größer null [mm]\pm\infty[/mm] werden, oder?
Was soll eigentlich das ganze mit [mm]\pm\infty[/mm] als Funktionswert? Wozu braucht man das überhaupt außer aus formalen Gründen vielleicht?
Mein Ziel dieser ganzen Diskussion ist ein glasklares Bild vom Riemann- und Lebesgue-Integral zu gewinnen. Dazu möchte die die Definitionen soweit wie möglich analog (aber äquivalent zu anderen üblicheren Kontruktionen) um klar zu erkennen, an welchen Stellen und warum beide Integrale zu anderen Resultaten führen.
Ich habe in der Diskussion mit SEki schon einen Link zu einer Quelle gepostet, in der das Lebesgue annalog zum Riemannintegral definiert wird.
Wenn man auf kompakten Mengen mit beschränkten Funktionen startet kann man analog zur Zerlegung des Argumentbereiches beim Riemannintegral beim Übergang zum Lebesgueintegral den Bildbereich zerlegen und dort auch mit Ober- und Untersummen arbeiten. Man erhält die üblichen Resultate. Dadurch dass man über die Urbildbildung dann beim Lebesgueintegral Mengen im Argumentbereich erhält, die keine einfachen Intervalle sondern i.A. beliebig komplizierte Mengen erhält, erfäßt man auch
die Mengen die Unstetigkeiten auf Mengen vom Maß größer null haben (Rieman geht nur bis Maß null).
Die Ausweitung auf nicht kompakte Argumentbereiche wird dort mit aufsteigenden Mengen erledigt.
Die Ausweitung auf entweder nur nach oben oder unten unbeschränkte Funktionen wird durch Abschneiden [mm]Min(f,n)[/mm] oder [mm]Max(f,-n)[/mm] erledigt.
Wenn die Funktionen nach oben und unten unbeschränkt sein kann wird dort der Positiv- und Negativteil beschnitten [mm]Min(f,n)[/mm].
Und an dieser Stelle Frage ich mich, warum geht das nicht mit [mm]Max(Min(f,n),-n)[/mm]? Was verliere ich an dieser Stelle, wenn ich es so mache?
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 26.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Stimme zu. Ich will aber keinen Vektorraum auf dem Raum der
> pathologisch unendlichen Funktionen definieren.
>
> Die obige Definition, habe ich dem Bauer entnommen, und das
> ist ein Standardwerk. "Meine" Definition wollte ich dem nur
> anpassen.
Ja, der Elstrodt führt das auch ein.
> Darüberhinaus hat man in [mm]L^p[/mm]-Räumen ja nur Funktionen,
> die ein endliches Integral haben und da möchte man doch
> die Vektoraumstruktur haben. Dann habe ich doch aber keine
> Funktionen dabei, die auf Mengen vom Maß größer null
> [mm]\pm\infty[/mm] werden, oder?
Richtig.
> Was soll eigentlich das ganze mit [mm]\pm\infty[/mm] als
> Funktionswert? Wozu braucht man das überhaupt außer aus
> formalen Gründen vielleicht?
Ich denke man tut es, weil man es erstens machen kann, und zwar ohne großen Mehraufwand, und zweitens weil es anscheinend doch Anwendungen dafür gibt.
> Mein Ziel dieser ganzen Diskussion ist ein glasklares Bild
> vom Riemann- und Lebesgue-Integral zu gewinnen. Dazu
> möchte die die Definitionen soweit wie möglich analog
> (aber äquivalent zu anderen üblicheren Kontruktionen) um
> klar zu erkennen, an welchen Stellen und warum beide
> Integrale zu anderen Resultaten führen.
Ein edles Motiv. Ich kann dir dabei leider nicht sehr viel helfen, weil ich da nicht mehr so drinstecke und auch gerade keine Zeit habe mich mit der nötigen Intensität damit zu beschäftigen.
Da es glaube ich bisher noch nie angesprochen wurde, es gibt noch einen weiteren, meiner Meinung nach sehr eleganten, aber etwas abstrakteren Weg, das Lebesgue-Integral einzuführen, der keinen Umweg nimmt über nicht-negative Funktionen. Wenn man den Vektorraum der einfachen Funktionen definiert hat, schaut man sich direkt die Cauchy-Folgen einfacher Funktionen (bzgl. der [mm] $\int_\Omega|\cdot|\ d\mu$-Norm) [/mm] und findet dann, dass die f.ü. gegen eine meßbare Funktion konvergieren oder so ähnlich. Wenn es dich interessiert, es wird z.B. im ![[]](/images/popup.gif) Bröcker alles sehr kompakt beschrieben. Es ist in sofern wesentlich natürlicher, das man sieht dass die integrierbaren Funktionen nur die Vervollständigung des Raumes der einfachen Funktionen sind (es kann sein, dass das jetzt nicht ganz exakt ist, aber im Wesentlichen ist es glaube ich richtig).
Gruß und viel Erfolg,
Robert
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 14:56 Fr 26.03.2010 | | Autor: | gfm |
> > Was soll eigentlich das ganze mit [mm]\pm\infty[/mm] als
> > Funktionswert? Wozu braucht man das überhaupt außer aus
> > formalen Gründen vielleicht?
> zwar ohne großen Mehraufwand, und zweitens weil es
> anscheinend doch Anwendungen dafür gibt.
Welche? Um mit ihnen Maße zu bauen die auf z.B. kompakten Teilmengen des [mm] \IR^n [/mm] unendlich sind? Wofür brauche ich die?
> Da es glaube ich bisher noch nie angesprochen wurde, es
> gibt noch einen weiteren, meiner Meinung nach sehr
> eleganten, aber etwas abstrakteren Weg, das
> Lebesgue-Integral einzuführen, der keinen Umweg nimmt
> über nicht-negative Funktionen. Wenn man den Vektorraum
> der einfachen Funktionen definiert hat, schaut man sich
> direkt die Cauchy-Folgen einfacher Funktionen (bzgl. der
> [mm]\int_\Omega|\cdot|\ d\mu[/mm]-Norm) und findet dann, dass die
> f.ü. gegen eine meßbare Funktion konvergieren oder so
> ähnlich. Wenn es dich interessiert, es wird z.B. im
Ja, genau, den Zugang verfolge ich auch gerade. Finde ich auch sehr spannend und nützlich, denn es bereitet einen gleich auch auf die Herangehensweise der Definitionen von stochastischen Integralen vor.
> Bröcker
Ja, kenne ich. Arbeite ich gerade durch. :) Gefällt mir sehr gut.
> einfachen Funktionen sind (es kann sein, dass das jetzt
> nicht ganz exakt ist, aber im Wesentlichen ist es glaube
> ich richtig).
Vielen Dank.
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 28.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 28.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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