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| Aufgabe | | Gesucht ist die Dichtefunktion $f$ einer stetigen Zufallsvariablen $X$, die folgende Eigenschaften erfüllt: gleich Null außerhalb des Intervalls $[0;0,5)$, ungleich Null innerhalb des Intervalls $[0;0,5)$, bestehend aus drei linearen Teilstücken, stetig in $x=0,5$ und einziges Maximum in $x=0$ besitzend. |
Guten Tag,
mein Ansatz zur vorangehenden Aufgabe ist folgender:
[mm] $f_{X}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ -ax+b, & \mbox{für } 0 \le x < 0,5 \\ 0, & \mbox{für } x \ge 0,5 \end{cases}$
[/mm]
Durch die fallende lineare Funktion im mittleren Teilstück erhalte ich ein Maximum in $x=0$. Nun weiß ich nicht, wie ich die übrigen Informationen nutzen kann, um $a, b$ zu bestimmen. Ich denke, dass
[mm] $\lim_{x \to 0,5} \integral_{0}^{x}{f_{X}(x) dx} [/mm] =1$
um die Stetigkeit zu gewährleisten, oder? Mit dem Integral komme ich dann jedoch nicht auf die gesuchten Werte. Für einen Denkanstoß bin ich sehr dankbar!
Frohe Feiertage!
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mi 26.12.2018 | | Autor: | Marc |
Hallo mathe_thommy!
> Gesucht ist die Dichtefunktion [mm]f[/mm] einer stetigen
> Zufallsvariablen [mm]X[/mm], die folgende Eigenschaften erfüllt:
> gleich Null außerhalb des Intervalls [mm][0;0,5)[/mm], ungleich
> Null innerhalb des Intervalls [mm][0;0,5)[/mm], bestehend aus drei
> linearen Teilstücken, stetig in [mm]x=0,5[/mm] und einziges Maximum
> in [mm]x=0[/mm] besitzend.
>
> Guten Tag,
>
> mein Ansatz zur vorangehenden Aufgabe ist folgender:
> [mm]f_{X}(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ -ax+b, & \mbox{für } 0 \le x < 0,5 \\ 0, & \mbox{für } x \ge 0,5 \end{cases}[/mm]
Der Ansatz ist schon mal sehr gut. Es fehlt natürlich noch die Forderung $a>0$.
Daher hätte ich einfach mit $ax+b$ und $a<0$ angesetzt.
> Durch die fallende lineare Funktion im mittleren Teilstück
> erhalte ich ein Maximum in [mm]x=0[/mm]. Nun weiß ich nicht, wie
> ich die übrigen Informationen nutzen kann, um [mm]a, b[/mm] zu
> bestimmen. Ich denke, dass
> [mm]\lim_{x \to 0,5} \integral_{0}^{x}{f_{X}(x) dx} =1[/mm]
> um die
> Stetigkeit zu gewährleisten, oder? Mit dem Integral komme
Das Integral ist doch der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x, also [mm] $F(x)=\integral_{0}^{x}{f_{X}(x) dx}$. [/mm] Dein Limes fordert damit die Stetigkeit der Verteilungsfunktion an der Stelle $0{,}5$.
> ich dann jedoch nicht auf die gesuchten Werte. Für einen
> Denkanstoß bin ich sehr dankbar!
Du hast ja noch zwei Parameter zu bestimmen, $a$ und $b$. Außerdem hast du zwei Informationen noch nicht verwendet:
1. Stetigkeit von $f$ an der Stelle $x=0{,}5$. Wie lautet die richtige Bedingung dafür?
2. $f$ ist eine Dichtefunktion. Wie lautet die richtige Integralbedingung dafür?
Du hast diese beiden Dinge in deiner Integralgleichung irgendwie vermischt 
Viele Grüße
Marc
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Hallo Marc,
ich danke Dir für Deine hilfreiche Antwort! Da ist mir in der Tat etwas durcheinander geraten. Ich habe nun noch einmal gerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gelangt:
(1) Stetigkeit: [mm] $\lim_{x \to 0,5} f_{X}(x)=0$ [/mm] führt zu $b=-0,5a$
(2) Eigenschaft einer W-Dichte: [mm] $\integral_{0}^{0,5}{ax+b } [/mm] dx =1$ führt zu [mm] $\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=1$
[/mm]
Insgesamt erhalte ich dann für das mittlere lineare Teilstück $-8x+4$.
Dieses Ergebnis scheint - zumindest anschaulich - sinnvoll.
Ich danke Dir für Deine Unterstützung!
mathe_thommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mi 26.12.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marc,
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> ich danke Dir für Deine hilfreiche Antwort! Da ist mir in
> der Tat etwas durcheinander geraten. Ich habe nun noch
> einmal gerechnet und bin zu folgendem Ergebnis gelangt:
>
> (1) Stetigkeit: [mm]\lim_{x \to 0,5} f_{X}(x)=0[/mm] führt zu
> [mm]b=-0,5a[/mm]
> (2) Eigenschaft einer W-Dichte: [mm]\integral_{0}^{0,5}{ax+b } dx =1[/mm]
> führt zu [mm]\frac{1}{8}a+\frac{1}{2}b=1[/mm]
> Insgesamt erhalte ich dann für das mittlere lineare
> Teilstück [mm]-8x+4[/mm].
Sieht gut aus !
> Dieses Ergebnis scheint - zumindest anschaulich -
> sinnvoll.
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> Ich danke Dir für Deine Unterstützung!
> mathe_thommy
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