Konstruktion Zirkel u. Lineal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Di 29.12.2009 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
Die Konstruktion des regulären p-Ecks mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich, wenn p eine Primzahl ist, für die p-1 keine Potenz von 2 ist |
Hallo miteinander,
ich habe im Internet gesucht und habe gefunden, dass es wohl geht, wenn p-1 genau die Potenz von 2 ist. Und zwar so:
Ist p eine Primzahl mit p > 2 und p-1 eine Potenz von 2, so gibt es
ein n mit
p = [mm] 2^{2^n}n+ [/mm] 1
Annahme:
p-1 = [mm] 2^m
[/mm]
<--> p = [mm] 2^m [/mm] + 1
z.z.: m = [mm] 2^n [/mm]
Hätte m einen ungerade Teiler k [mm] \ge [/mm] 3, so wäre m = k * l und es wäre
p = 2^(kl) + 1 = [mm] (2^l [/mm] + 1) (2^((k-1)l) - 2^((k-2)l) + ... + 2^2l - [mm] 2^l [/mm] + 1)
Da 1< [mm] 2^l [/mm] + 1 < 2^kl + 1, wäre p nicht prim.
Was ich nicht verstehe, warum spielt die Zweierpotenz überhaupt eine Rolle?!? Leider finde ich dazu nichts in meinen Mitschriften / Skript. Den Beweis verstehe zwar, aber nicht das letzte Argument, dass p nicht mehr prim sein könnte, wenn 1< [mm] 2^l [/mm] + 1 < 2^kl + 1.
Ich hoffe, ihr hattet alle ein schönes Weihnachtsfest und könnt mir jetzt ein bisschen helfen.
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mi 30.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie:
> Die Konstruktion des regulären p-Ecks mit Zirkel und
> Lineal ist nicht möglich, wenn p eine Primzahl ist, für
> die p-1 keine Potenz von 2 ist
>
> Hallo miteinander,
> ich habe im Internet gesucht und habe gefunden, dass es
> wohl geht, wenn p-1 genau die Potenz von 2 ist. Und zwar
> so:
> Ist p eine Primzahl mit p > 2 und p-1 eine Potenz von 2,
> so gibt es
> ein n mit
> p = [mm]2^{2^n}n+[/mm] 1
> Annahme:
> p-1 = [mm]2^m[/mm]
> <--> p = [mm]2^m[/mm] + 1
>
> z.z.: m = [mm]2^n[/mm]
Was ist $m$?
> Hätte m einen ungerade Teiler k [mm]\ge[/mm] 3, so wäre m = k * l
> und es wäre
> p = 2^(kl) + 1 = [mm](2^l[/mm] + 1) (2^((k-1)l) - 2^((k-2)l) + ...
> + 2^2l - [mm]2^l[/mm] + 1)
> Da 1< [mm]2^l[/mm] + 1 < 2^kl + 1, wäre p nicht prim.
>
> Was ich nicht verstehe, warum spielt die Zweierpotenz
> überhaupt eine Rolle?!? Leider finde ich dazu nichts in
> meinen Mitschriften / Skript. Den Beweis verstehe zwar,
> aber nicht das letzte Argument, dass p nicht mehr prim sein
> könnte, wenn 1< [mm]2^l[/mm] + 1 < 2^kl + 1.
Also: das Minimalpolynom einer $p$-ten Einheitswurzel [mm] $\zeta_p$ [/mm] ($p$ prim) hat Grad $p - 1$ (das Polynom ist [mm] $X^{p-1} [/mm] + [mm] X^{p-2} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + X + 1$ und per Substitution + Eisenstein irreduzibel).
Nun ist eine Zahl genau dann konsturierbar, wenn sie in einer iterierten Quadratwurzelerweiterung liegt. Und jedes Element in einer iterierten Quadratwurzelerweiterung hat ein Minimalpolynom von Grad [mm] $2^t$ [/mm] fuer ein $t [mm] \in \IN$.
[/mm]
Also: damit [mm] $\zeta_p$ [/mm] konstruierbar ist, muss $p - 1$ eine Zweierpotenz sein. Und dass [mm] $\zeta_p$ [/mm] konstruierbar ist, ist aequivalent dazu dass ein regulaeres $p$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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Hey,
danke für deine schnelle Antwort. Ich verstehe jetzt, warum die Zweierpotenz notwendig ist. Jedoch bleibe ich immer noch bei dem Widerspruch hängen:
Da 1< $ [mm] 2^l [/mm] $ + 1 < 2^kl + 1, wäre p nicht prim.
Wieso ist p nicht mehr prim, bzw. wieso kann p nicht mehr prim sein?!
Vielen Dank schonmal
Viele Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 01.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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