Konstruktion allein mit Zirkel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 24.01.2010 | | Autor: | Ferma |
In einer Ebene sind Zwei Punkte A und B. Der Abstand 5cm. Nun soll in A eine Senkrechte(virtuell) auf die virtuelle Gerade AB mit der Länge 5cm errichtet werden.
Es steht kein Lineal oder Ähnliches zur Verfügung. Die Konstruktion erfolgt NUR mit dem Zirkel. Wenn die Aufgabe gelöst ist, ist ein zusätzlicher Punkt C gefunden, so dass die virtuelle Linie AC senkrecht auf AB ist, und die Länge 5cm hat. Das hat etwas mit "Mascheronischen Konstruktionen" zu tun.
Virtuell, weil kein Lineal da ist, zum Ausziehen der Geraden.
Gruß, Ferma
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Hallo Ferma!
Damit du auf Antworten hoffen kannst, solltest du vielleicht klarstellen, was du genau wissen möchtest. Wenn deine Frage = Aufgabenstellung ist, so wären ein paar eigene Lösungsansätze nicht schlecht.
Grüße,
Stefan
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Das ist etwa so wie Schuhe binden mit der
linken Hand allein !
(oder für Linkshänder: mit der rechten Hand)
 Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 So 24.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
den Mann, der mit einer Hand in wenigen Sekunden eine veritable Schleife bindet, bewundere ich sehr. Das verlangte irgendwann einige Überlegung und wohl viele Versuche von irgendwem (vielleicht schon vor einigen Generationen), von jedem und jeder, die das beherrschen wollen, aber viel Übung. Das verdient meinen größten Respekt. Dir aber vielen Dank für das Aufsuchen dieses interessanten Videos. In einer reibungsbehafteten Knotentheorie nicht nur geschlossener Linien wäre es auch mathematisch interessant. Leider haben wir keine solche Theorie, was wirklich schade (und praxisfern!) ist.
Die hier gestellte Aufgabe dagegen ist doch nicht schwierig. Hierzu in einigen Minuten mehr, ich muss nur gerade noch ein paar Mails erledigen.
Herzliche
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Hallo!
Also, sonderlich schwer ist das nun wirklich nicht. man zeichnet um beide Punkte einen Kreis mit Radius 5, das ist ja der abgreifbare Abstand. Das gibt Schnittpunkte, die mit einem der Punkte und deren Verbinungslinie einen Winkel von 60° einschließen... In die Schnittpunkte kann man wieder Kreise einzeichnen, und wieder und wieder...
Jedenfalls bekommt man so irgendwann einen Punkt, der auf einer Graden mit A und B liegt und von A 5 entfernt ist.
Und das wars. Zur Konstruktion einer Senkrechten durch einen Punkt einer Graden braucht man zwei weitere Punkte auf der Graden mit gleichem Abstand von dem einen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mo 25.01.2010 | | Autor: | reverend |
Guten Abend,
ja, in der Tat. Und "irgendwann" ist kein weit entfernter Punkt.
Fangen wir mal von zwei Seiten an, nämlich einmal mit Lineal.
Wie wäre dann wohl die Konstruktion?
Wir würden A und B mit einer Geraden verbinden. Dann bräuchten wir zwei Punkte, die auf der Geraden liegen und gleich weit von A entfernt sind. Am einfachsten wäre also, B an A zu spiegeln, indem wir einfach einen Kreis mit [mm] r=|\overline{AB}| [/mm] um A schlagen. Außer B bekommen wir den zweiten Schnittpunkt mit der Geraden, nennen wir ihn B'. Dann wählen wir einen beliebigen Radius [mm] R>|\overline{AB}| [/mm] und schlagen Kreise um B und B'. Ihre Schnittpunkte definieren dann die gesuchte Senkrechte auf AB, die durch A führt.
Nun haben wir kein Lineal. Signore Mascheroni* hätte dennoch über der Aufgabe schnell gegähnt.
Wir haben die Punkte A und B. Weniger geht wohl nicht...
Also tun wir mal das einzige, das im Rahmen der Aufgabe geht: wir schlagen zwei Kreise um A und B mit dem Radius [mm] r=|\overline{AB}| [/mm] und gewinnen zwei Schnittpunkte C und D. Ab hier gibt es mehrere mögliche Wege. Naheliegend erscheint aber, um zwei Punkte aus [mm] \{B,C,D\} [/mm] einen Kreis mit dem Radius [mm] |\overline{CD}| [/mm] zu schlagen. Der Schnittpunkt aller drei Kreise ist dann ein hilfreicher, siehe oben.
Alles klar?
lg
reverend
*Mascheroni spricht sich übrigens Mas-ke-ró-ni, also fast wie Maccaroni, und mit der Betonung von Maskerade.
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> Hallo!
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> Also, sonderlich schwer ist das nun wirklich nicht. man
> zeichnet um beide Punkte einen Kreis mit Radius 5, das ist
> ja der abgreifbare Abstand. Das gibt Schnittpunkte, die mit
> einem der Punkte und deren Verbinungslinie einen Winkel von
> 60° einschließen... In die Schnittpunkte kann man wieder
> Kreise einzeichnen, und wieder und wieder...
> Jedenfalls bekommt man so irgendwann einen Punkt, der auf
> einer Graden mit A und B liegt und von A 5 entfernt ist.
Damit meinst du wohl den Spiegelpunkt von A bei Punkt-
spiegelung an A , oder ?
> Und das wars. Zur Konstruktion einer Senkrechten durch
> einen Punkt einer Graden braucht man zwei weitere Punkte
> auf der Graden mit gleichem Abstand von dem einen...
Aber halt ! Diese Senkrechte können wir ja eben ohne
Lineal gar nicht einzeichnen (und dann auf ihr die
Streckenlänge abtragen) !
Die Aufgabe besteht darin, den Eckpunkt C nur
mittels Kreisbögen mit vorgegebenem Zentrum und
je einem Kreispunkt zu konstruieren. Es ist ebenfalls
erlaubt, einen mit dem Zirkel zwischen zwei bekannten
Punkten abgemessenen Radius zu benützen, um mit
einem anderen Punkt als Zentrum einen Kreis(bogen)
zu zeichnen.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Mo 25.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
natürlich können wir mit dem Zirkel die Senkrechte nicht einzeichnen. Geraden wären ja nur als Graph darzustellen, wenn wir unendliche Durchmesser voraussetzen dürften. Doch wo wäre dann der Mittelpunkt des zu zeichnenden Kreises?
Eine Gerade gilt hier aber schon als definiert, wenn wir zwei Punkte auf ihr kennen. Mehr ist (nach den Voraussetzungen Mascheronis) nicht nötig. Darum genügt es für die Aufgabe, außer dem gegebenen Punkt A einen einzigen weiteren Punkt auf der gesuchten Senkrechten zu bestimmen.
Die einfachste Konstruktion, die nun wirklich MittelstufenschülerInnen zugänglich ist, hat übrigens mit regelmäßigen Sechsecken zu tun...
lg
reverend
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> Hallo Al,
>
> natürlich können wir mit dem Zirkel die Senkrechte nicht
> einzeichnen. Geraden wären ja nur als Graph darzustellen,
> wenn wir unendliche Durchmesser voraussetzen dürften. Doch
> wo wäre dann der Mittelpunkt des zu zeichnenden Kreises?
>
> Eine Gerade gilt hier aber schon als definiert, wenn wir
> zwei Punkte auf ihr kennen. Mehr ist (nach den
> Voraussetzungen Mascheronis) nicht nötig. Darum genügt es
> für die Aufgabe, außer dem gegebenen Punkt A einen
> einzigen weiteren Punkt auf der gesuchten Senkrechten zu
> bestimmen. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Nein, eben nicht: es ist nicht irgendein Punkt dieser
Senkrechten zu konstruieren, sondern einer von
den zwei möglichen Punkten auf dieser Senkrechten,
welcher von A den Abstand [mm] r=|\overline{AB}| [/mm] hat !
> .....
> lg
> reverend
Gruß und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Mo 25.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
> Nein, eben nicht: es ist nicht irgendein Punkt dieser
> Senkrechten zu konstruieren, sondern einer von
> den zwei möglichen Punkten auf dieser Senkrechten,
> welcher von A den Abstand [mm]r=|\overline{AB}|[/mm] hat !
Wo kommt das in der Aufgabe vor?
Auch dieser Zusatz wäre nicht schwierig zu lösen, aber ich sehe keine Notwendigkeit, ihn zu erfüllen. So war die Aufgabenstellung:
> In einer Ebene sind Zwei Punkte A und B. Der Abstand 5cm. Nun soll in A eine
> Senkrechte(virtuell) auf die virtuelle Gerade AB mit der Länge 5cm errichtet
> werden.
Soweit der Kern der Aufgabe. Ferma fährt nur allerdings fort:
> Es steht kein Lineal oder Ähnliches zur Verfügung. Die Konstruktion erfolgt NUR
> mit dem Zirkel. Wenn die Aufgabe gelöst ist, ist ein zusätzlicher Punkt C
> gefunden, so dass die virtuelle Linie AC senkrecht auf AB ist, und die Länge 5cm
> hat.
Die letzte Bedingung ist diejenige, auf die Du Dich berufst. Aber gehört sie auch zur ursprünglichen Aufgabe? Das können wir nicht klären, sondern nur der/die hier Anfragende.
Also, Ferma, was war nun wirklich gefragt?
Wenn Al's Deutung richtig ist, erschwert das die Aufgabe ein wenig, aber nicht sehr. Die Aufgabe ist immer noch vollständig zu lösen, wenn man weiß, wie nur mit dem Zirkel aus einer beliebigen Strecke ein regelmäßiges Sechseck zu konstruieren ist.
Gute Nacht,
rev
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> Hallo Al,
>
> > Nein, eben nicht: es ist nicht irgendein Punkt dieser
> > Senkrechten zu konstruieren, sondern einer von
> > den zwei möglichen Punkten auf dieser Senkrechten,
> > welcher von A den Abstand [mm]r=|\overline{AB}|[/mm] hat !
>
> Wo kommt das in der Aufgabe vor?
Hallo reverend,
In dem Text
"Nun soll in A eine Senkrechte(virtuell) auf die virtuelle Gerade AB
mit der Länge 5cm errichtet werden."
habe ich das "mit der Länge 5cm" als Attribut
(oder wie heißt dieses Tier schon wieder) zu "eine Senkrechte"
aufgefasst, und nicht als Attribut zu "die virtuelle Gerade AB".
Diese Interpretation sehe ich bestätigt in der späteren
Bemerkung:
"Wenn die Aufgabe gelöst ist, ist ein zusätzlicher Punkt C
gefunden, so dass die virtuelle Linie AC senkrecht auf AB
ist, und die Länge 5cm hat."
Letzteres ist meiner Meinung nichts anderes als eine
Präzisierung, und nicht etwa eine Erweiterung der
Aufgabenstellung.
Zudem: Ohne die Forderung, dass AC auch die Länge 5cm
(wie AB) haben solle, macht eigentlich schon die Angabe
einer konkreten Länge für AB gar keinen Sinn ...
> Auch dieser Zusatz wäre nicht schwierig zu lösen, aber
> ich sehe keine Notwendigkeit, ihn zu erfüllen. So war die
> Aufgabenstellung:
>
> > In einer Ebene sind Zwei Punkte A und B. Der Abstand 5cm.
> > Nun soll in A eine Senkrechte(virtuell) auf die virtuelle Gerade AB
> > mit der Länge 5cm errichtet werden.
>
> Soweit der Kern der Aufgabe. Ferma fährt nur allerdings
> fort:
>
> > Es steht kein Lineal oder Ähnliches zur Verfügung. Die
> > Konstruktion erfolgt NUR mit dem Zirkel.
Wenn die Aufgabe gelöst ist, ist ein zusätzlicher Punkt C
gefunden, so dass die virtuelle Linie AC senkrecht auf AB
ist, und die Länge 5cm hat.
> Die letzte Bedingung ist diejenige, auf die Du Dich
> berufst. Aber gehört sie auch zur ursprünglichen Aufgabe?
> Das können wir nicht klären, sondern nur der/die hier
> Anfragende.
>
> Also, Ferma, was war nun wirklich gefragt?
>
> Wenn Al's Deutung richtig ist, erschwert das die Aufgabe
> ein wenig, aber nicht sehr. Die Aufgabe ist immer noch
> vollständig zu lösen, wenn man weiß, wie nur mit dem
> Zirkel aus einer beliebigen Strecke ein regelmäßiges
> Sechseck zu konstruieren ist.
>
> Gute Nacht,
> rev
Zum Schluss:
Meiner Meinung nach könnte (sollte) man die Aufgabe
einfacher so formulieren:
| Aufgabe | Gegeben sind die zwei Eckpunkte A und B eines
Quadrats ABCD. Konstruiere mit dem Zirkel allein,
also ohne Zuhilfenahme eines Lineals, die Eckpunkte
C und D des Quadrats.
|
(die Konstruktion des 4. Punkts bedeutet keinen
Mehraufwand, und alle wissen, was gemeint ist)
Eine Lösung findet man zum Beispiel da:
![[]](/images/popup.gif) Konstruktion
Gruß Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Ferma |
Ja, lieber Al, Du hast meinen Text richtig interpretiert. Die Lösung ist gefunden, jetzt werde ich die im Link gezeigte Konstruktion mit Formeln begründen(natürlich nur für mich). Danke!!
lg Ferma> > Hallo Al,
> >
> > > Nein, eben nicht: es ist nicht irgendein Punkt dieser
> > > Senkrechten zu konstruieren, sondern einer von
> > > den zwei möglichen Punkten auf dieser Senkrechten,
> > > welcher von A den Abstand [mm]r=|\overline{AB}|[/mm] hat !
> >
> > Wo kommt das in der Aufgabe vor?
>
>
> Hallo reverend,
>
> In dem Text
>
> "Nun soll in A eine Senkrechte(virtuell) auf die virtuelle
> Gerade AB
> mit der Länge 5cm errichtet werden."
>
> habe ich das "mit der Länge 5cm" als Attribut
> (oder wie heißt dieses Tier schon wieder) zu "eine
> Senkrechte"
> aufgefasst, und nicht als Attribut zu "die virtuelle
> Gerade AB".
> Diese Interpretation sehe ich bestätigt in der späteren
> Bemerkung:
> "Wenn die Aufgabe gelöst ist, ist ein zusätzlicher Punkt
> C
> gefunden, so dass die virtuelle Linie AC senkrecht auf AB
> ist, und die Länge 5cm hat."
>
> Letzteres ist meiner Meinung nichts anderes als eine
> Präzisierung, und nicht etwa eine Erweiterung der
> Aufgabenstellung.
> Zudem: Ohne die Forderung, dass AC auch die Länge 5cm
> (wie AB) haben solle, macht eigentlich schon die Angabe
> einer konkreten Länge für AB gar keinen Sinn ...
>
> > Auch dieser Zusatz wäre nicht schwierig zu lösen, aber
> > ich sehe keine Notwendigkeit, ihn zu erfüllen. So war die
> > Aufgabenstellung:
> >
> > > In einer Ebene sind Zwei Punkte A und B. Der Abstand 5cm.
> > > Nun soll in A eine Senkrechte(virtuell) auf die virtuelle
> Gerade AB
> > > mit der Länge 5cm errichtet werden.
> >
> > Soweit der Kern der Aufgabe. Ferma fährt nur allerdings
> > fort:
> >
> > > Es steht kein Lineal oder Ähnliches zur Verfügung. Die
> > > Konstruktion erfolgt NUR mit dem Zirkel.
>
> Wenn die Aufgabe gelöst ist, ist ein zusätzlicher Punkt C
> gefunden, so dass die virtuelle Linie AC senkrecht auf AB
> ist, und die Länge 5cm hat.
>
> > Die letzte Bedingung ist diejenige, auf die Du Dich
> > berufst. Aber gehört sie auch zur ursprünglichen Aufgabe?
> > Das können wir nicht klären, sondern nur der/die hier
> > Anfragende.
> >
> > Also, Ferma, was war nun wirklich gefragt?
> >
> > Wenn Al's Deutung richtig ist, erschwert das die Aufgabe
> > ein wenig, aber nicht sehr. Die Aufgabe ist immer noch
> > vollständig zu lösen, wenn man weiß, wie nur mit dem
> > Zirkel aus einer beliebigen Strecke ein regelmäßiges
> > Sechseck zu konstruieren ist.
> >
> > Gute Nacht,
> > rev
>
>
> Zum Schluss:
>
> Meiner Meinung nach könnte (sollte) man die Aufgabe
> einfacher so formulieren:
>
> Gegeben sind die zwei Eckpunkte A und B eines
> Quadrats ABCD. Konstruiere mit dem Zirkel allein,
> also ohne Zuhilfenahme eines Lineals, die Eckpunkte
> C und D des Quadrats.
>
>
> (die Konstruktion des 4. Punkts bedeutet keinen
> Mehraufwand, und alle wissen, was gemeint ist)
>
> Eine Lösung findet man zum Beispiel da:
>
> Konstruktion
>
>
> Gruß Al-Chwarizmi
>
>
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Hallo Ferma,
danke für die Rückmeldung. Ich habe mich allerdings
schon gefragt ob es falsch gewesen war, den Link zu
einer Lösung anzugeben. Damit ist irgendwie die Luft
raus für alle, die sich zum Ziel setzten, eigenständig
eine mögliche Konstruktion zu finden.
Ich denke schon, dass da nicht allzu viele ohne erheb-
liche Mühen drauf kämen.
Jetzt hoffe ich, dass ich keinem den Spass (*)
(bzw. den Spaß) an der Aufgabe verdorben habe.
Für diesen Fall gäbe es aber Abhilfe, zum Beispiel mit
den folgenden Aufgaben (deren Lösung ich nicht kenne;
ich weiß nur dass Lösungen möglich sein müssen):
| Aufgabe | Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC.
Konstruiere nur mit dem Zirkel, ohne Lineal:
a) den Höhenschnittpunkt H
b) den Umkreismittelpunkt U
b) den Inkreismittelpunkt I
c) den Schwerpunkt S
des Dreiecks. |
Grüße Al-Chwarizmi
(*) Mascheroni war Italiener, "Spass" kommt vom
italienischen "spasso", und darin ist das "a" ein-
deutig ein kurzes ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 09.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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