Konstruktion einer Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Toyo |
| Aufgabe | | Sei [mm] \Omega [/mm] unendlich und T das Mengensystem aller 2er Mengen aus [mm] \Omega. [/mm] Bestimmen sie die kleinste Algebra die T enhält. |
Hallo alle zusammen,
Ich habe mir folgendes überlegt:
Sehe [mm] \Omega [/mm] wie folgt aus: [mm] \Omega=\{a_1,a_2,...\} [/mm] dann kann ich zeigen, dass auch [mm] \{a_1\} [/mm] , [mm] \{a_2\} [/mm] , ... in der algebra liegen müssen.
Daraus schliesse ich dass nur die Potenzmenge als Algebra in Frage kommt, ist das richtig?
Was mich verunsichert ist das die Anzahl der ELement in [mm] \Omega [/mm] unendlich ist.
Wenn ich also die ganzen Einzelmengen in der Algebra hab, dann kann ich daraus ja jetzt alle kombinationen von vereinigungen bilden. Aber braucht man nicht die [mm] \sigma [/mm] addititvität um die Potenzmenge zu [mm] P(\Omega) [/mm] zu erhalten?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Gruß Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\Omega[/mm] unendlich und T das Mengensystem aller 2er
> Mengen aus [mm]\Omega.[/mm] Bestimmen sie die kleinste Algebra die T
> enhält.
> Hallo alle zusammen,
>
> Ich habe mir folgendes überlegt:
> Sehe [mm]\Omega[/mm] wie folgt aus: [mm]\Omega=\{a_1,a_2,...\}[/mm] dann
> kann ich zeigen, dass auch [mm]\{a_1\}[/mm] , [mm]\{a_2\}[/mm] , ... in der
> algebra liegen müssen.
> Daraus schliesse ich dass nur die Potenzmenge als Algebra
> in Frage kommt, ist das richtig?
> Was mich verunsichert ist das die Anzahl der ELement in
> [mm]\Omega[/mm] unendlich ist.
> Wenn ich also die ganzen Einzelmengen in der Algebra hab,
> dann kann ich daraus ja jetzt alle kombinationen von
> vereinigungen bilden.
Durch beliebige Vereinigungen ja. Aber nicht durch abzaehlbare Vereinigungen, es sei denn [mm] $\Omega$ [/mm] ist abzaehlbar unendlich.
Wenn [mm] $\Omega$ [/mm] ueberabzaehlbar unendlich ist, dann kommt etwas kleineres als die Potenzmenge raus. Kannst ja z.B. [mm] $\IR$ [/mm] betrachten; das Intervall $[0, 1]$ kannst du nicht als abzaehlbare Vereinigung von Mengen der Form [mm] $\{ a \}$, [/mm] $a [mm] \in \IR$ [/mm] schreiben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Toyo |
Danke für die Schnelle Antwort Felix,
also im falle [mm] \Omega [/mm] überabzählbar unendlich, dann sieht die Algebra doch wie folgt aus oder: [mm] \mathcal{A}=\{A \in \Omega : A Abzaehlbar \} [/mm] ist das korrekt, aber dann hat man doch ein problem bei der zweiten Eigenschaft oder?
1.) leeremenge [mm] \in \mathcal{A} [/mm] klar
2.) dann müsste doch aus B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] abzählbar [mm] B^{c} [/mm] überabzählbar [mm] \in \mathcal{A} [/mm] sein was aber doch nicht geht, oder hab ich hier was übersehen?
Gruß
Toyo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Sa 28.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Toyo!
> also im falle [mm]\Omega[/mm] überabzählbar unendlich, dann sieht
> die Algebra doch wie folgt aus oder: [mm]\mathcal{A}=\{A \in \Omega : A Abzaehlbar \}[/mm]
du meinst: [mm]\mathcal{A}=\{ A \subseteq \Omega : A \text{ abzaehlbar } \}[/mm]
> ist das korrekt, aber dann hat man doch ein problem bei der
> zweiten Eigenschaft oder?
Da fehlt noch etwas. Und zwar musst du noch explizit die Teilmengen $A [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] mit [mm] $A^c [/mm] = [mm] \Omega \setminus [/mm] A$ abzaehlbar mit aufnehmen, ansonsten gilt deine Eigenschaft 2) nicht.
Also muss [mm] $\mathcal{A} [/mm] = [mm] \{ A \subseteq \Omega \mid A \text{ oder } \Omega \setminus A \text{ abzaehlbar } \}$ [/mm] sein.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 01.05.2007 | | Autor: | cantor |
Hi!
müsste nicht überall wo ihr "abzählbar" geschrieben habt, "endlich" stehen? Es geht ja um eine Algebra, nicht um eine Sigma-Algebra.
Viele Grüße
Cantor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Es kommt natürlich darauf an was du mit Algebra meinst.
Wenn du mit Algebra boolesche Algebra meinst. Dann sind es
die endlichen und coendlichen Teilmengen. coendlich heißt das Komplement
ist endlich.
komduck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Di 01.05.2007 | | Autor: | cantor |
ok, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Mi 02.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Cantor,
> müsste nicht überall wo ihr "abzählbar" geschrieben habt,
> "endlich" stehen? Es geht ja um eine Algebra, nicht um eine
> Sigma-Algebra.
ich denke du hast Recht. Zumindest soweit ich mich richtig an den entsprechenden Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie erinnere; [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] sind Algebren, wo auch abzaehlbar unendliche Vereinigungen drinnen liegen muessen und nicht nur endliche. (Wenn das nicht stimmt, so korrigiere mich bitte jemand...)
LG Felix
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