Konstruktion einer Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Fr 27.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Hallo zusammen.
Wie ihr ja wisst ist mein Lineare Algebra Verständnis nicht besonders groß und von daher benötige ich dringend, wirklich dringend Hilfe. Wir haben den nächsten Übungszettel erhalten, in dem ich 100% benötige, da ich ansonsten leider nicht die Klausurzulassung erhalten werde. Deswegen würde ich mich freuen, wenn mir jemand bei diesem Zettel und natürlich den nächsten Zetteln, die noch kommen werden helfen würde.
Die erste Aufgabe wäre:
Es sei V der Vektorraum aller 3 x 3 - Matrizen über einem Körper K.
f:V [mm] \to [/mm] K, [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } \mapsto [/mm] a11 + a22 + a33
Konstruieren Sie eine Basis von kern(f)
Kann mir da jemand helfen? Was der erste Schritt ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Erste Schritt ist: Hinschreiben, was der Kern einer Abbildung ist.
dann mal eine matrix überlegen, die da sicher drin liegt, vielleicht noch ne zweite, usw. dann kommt man auf die Idee wie man alle findet und ann sucht man da eben die lin unabhängigen raus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Fr 27.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Leider weiß ich nicht wie das geht. Wie soll ich denn den Kern hinschreiben? Wie kann ich den denn mit einer Matrix und ohne Zahlen berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Definiere erst mal Kern.
was heisst das für die spezielle Funktion?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 27.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Difinition:
Kern [mm] \gamma [/mm] := { x [mm] \in [/mm] V | [mm] \gamma(x) [/mm] = 0 }
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Difinition:
>
> Kern [mm]\gamma[/mm] := ( x [mm]\in[/mm] V|[mm]\gamma(x)[/mm] = 0 )
Was ist hier [mm] \gamma, [/mm] was x, schreib mal direkt für deinen VR auf [mm] \gamma(x)=0
[/mm]
Also Welche Matrix wird auf die Zahl 0 abgebildet?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Fr 27.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Das müsste doch die Nullmatrix sein, oder?
Also:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
oder?
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Hallo mausieux,
> Das müsste doch die Nullmatrix sein, oder?
>
> Also:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Das ist eine richtige Lösung.
Aber vergegenwärtige dir doch nochmal deine zwei "Komponenten":
- Der Kern einer Abbildung ist die Menge der Argumente, die ich in die Abbildung einsetzen kann, sodass Null rauskommt.
- Die Abbildung, die dir gegeben ist, bildet offenbar die 3x3-Matrix auf die Summe ihrer Diagonalelemente ab.
--> Das bedeutet, wenn alle Diagonalelemente 0 sind, ist auch deren Summe 0, d.h. ALLE Matrizen, die nur Diagonalelemente = 0 haben, sind automatisch im Kern der Abbildung enthalten.
--> Schreibe die Menge dieser Matrizen auf!
Aber: das waren noch nicht alle Matrizen. Stell' dir vor, ein Diagonalelement wäre 1, das zweite auch 1, dann kann das dritte -2 sein, und die Summe ist wieder 0.
D.h. wenn ich das erste und das zweite Diagonalelement frei wähle, kann ich das dritte immer noch entsprechend wählen, dass 0 rauskommt.
--> Schreibe nun eine neue Menge von Matrizen A auf, bei welcher
- 1. Die Nicht-Diagonalelement frei wählbar sind (Z.B. Parameter [mm] \lambda_{1} [/mm] bis [mm] \lambda_{4} [/mm] ),
- 2. Das erste und das zweite Diagonalelement frei wählbar ist (Z.B. Parameter [mm] \mu_{1} [/mm] und [mm] \mu_{2}) [/mm] und somit das dritte Diagonalelement entsprechend die Form ... hat.
Wenn du nun
$A = [mm] \lambda_{1}*Matrix1 [/mm] + [mm] \lambda_{2}*Matrix2 [/mm] + ... + [mm] \lambda_{6}*Matrix6 [/mm] + [mm] \mu_{1}*Matrix7 [/mm] + [mm] \mu_{2}*Matrix8$
[/mm]
schreibst, also die Matrix A "aufteilst", bilden Matrix1 bis Matrix8 eine Basis des Kerns deiner gegebenen Abbildung.
PS.: Mit "Aufteilen" meine ich Folgendes: Den Vektor [mm] \vektor{\lambda_{1}\\ \lambda_{2}} [/mm] würde ich so aufteilen: [mm] $\vektor{\lambda_{1}\\ \lambda_{2}} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*\vektor{1\\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{0\\ 1}$
[/mm]
So, nun ran an die Arbeit 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Hallo, nochmal.
Also, ich habe deine Erklärung zwar verstanden. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich jetzt die einzelnen Mengen aufschreiben soll.
Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kern: die Summe der Diagonalelemente muss 0 sein. Schreib das mal hin, als Formel.
Was bedeutet das dann etwa für die [mm] a_{ik} [/mm] der Matrix [mm] i\nek
[/mm]
was für die Diagonalelemente?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Könnte die Lösung folgende sein?
[mm] f(x+\lambda [/mm] y) = f(x) + [mm] \lambda [/mm] f(y)
eingesetzt würde gelten:
H [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 } [/mm] = a11 + a22 + a33 + [mm] \lambda [/mm] b11 + [mm] \lambda [/mm] b22 + [mm] \lambda [/mm] b33
= a11 + a22 + a33 + [mm] \lambda(b11 [/mm] + b22 + b33)
= V [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 }
[/mm]
Hätte ich damit die geforderte K - Linearität gezeigt?
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Hallo mausieux,
was möchtest du jetzt plötzlich mit K-Linearität? Wieso ist die "gefordert"?
> Könnte die Lösung folgende sein?
>
> [mm]f(x+\lambda[/mm] y) = f(x) + [mm]\lambda[/mm] f(y)
>
> eingesetzt würde gelten:
>
> H [mm]\pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 }[/mm]
> + [mm]\lambda \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 }[/mm]
Dieser Schritt zum nächsten ist etwas kurz, evtl. solltest du noch [mm] \lambda [/mm] in die zweite Matrix reinmultiplizieren.
> = a11 + a22 + a33 + [mm]\lambda[/mm] b11 + [mm]\lambda[/mm] b22 + [mm]\lambda[/mm]
> b33
> = a11 + a22 + a33 + [mm]\lambda(b11[/mm] + b22 + b33)
> = V [mm]\pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 }[/mm]
> + [mm]\lambda \pmat{ b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 }[/mm]
>
> Hätte ich damit die geforderte K - Linearität gezeigt?
Ansonsten alles okay ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 29.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Ja, sorry. Ein wenig unübersichtlich. Ich hatte zwei Aufgaben drin. Einmal wurde die k-Linearität und einmal die Basis des kern(f) gefordert. Diese wurden allerdings beide zusammengelegt, sodass dieser Thread entstand.
Entschuldigt bitte. Habe ich die k-Linearität richtig gezeigt, wenn ich das jetzt noch [mm] \lambda [/mm] in die zweite Matrix einrechne?
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Hallo mausieux,
> Ja, sorry. Ein wenig unübersichtlich. Ich hatte zwei
> Aufgaben drin. Einmal wurde die k-Linearität und einmal
> die Basis des kern(f) gefordert. Diese wurden allerdings
> beide zusammengelegt, sodass dieser Thread entstand.
> Entschuldigt bitte. Habe ich die k-Linearität richtig
> gezeigt, wenn ich das jetzt noch [mm]\lambda[/mm] in die zweite
> Matrix einrechne?
Ja, das ist dann soweit okay. Zumindest aus meiner Sicht. Was ich damit meine, ist, dass du die verwendeten Schritte "machen darfst", d.h. das ihr das alles schon behandelt habt. Davon gehe ich aber aus.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
und wäre die Basis von kern(f)
Basis von Kern(f) {(-a13-a22-a31-a32-a23-a33,a13,a22,a31,a32,a23,a33)}
= [mm] \pmat{ -a13-a22-a31-a32-a23-a33 & a12 & a23 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33}
[/mm]
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Hallo mausieux,
> und wäre die Basis von kern(f)
>
> Basis von Kern(f)
> {(-a13-a22-a31-a32-a23-a33,a13,a22,a31,a32,a23,a33)}
>
> = [mm]\pmat{ -a13-a22-a31-a32-a23-a33 & a12 & a23 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33}[/mm]
Nein, das ist leider noch nicht richtig. Es ist auch falsch aufgeschrieben, eine Basis besteht aus (mehreren) Elementen des Vektorraums, in denen zumindest hier KEINE Parameter vorkommen.
Ich fahre mal von meinem Post oben weiter fort:
Also, offenbar sind nur die Diagonalelemente [mm] $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ [/mm] wichtig. Für diese muss gelten:
[mm] $a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] + [mm] a_{33} [/mm] = 0$
Ich habe eine Gleichung, drei Unbekannte: Also kann ich zwei Unbekannte frei wählen, um alle Lösungen darzustellen.
Wähle [mm] $a_{11} [/mm] = [mm] \mu_{1}, a_{22} [/mm] = [mm] \mu_{2}$. [/mm] Dann ergibt sich für [mm] a_{33} [/mm] sofort:
[mm] $\mu_{1} [/mm] + [mm] \mu_{2} [/mm] + [mm] a_{33} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_{33} [/mm] = [mm] -\mu_{1} [/mm] - [mm] \mu_{2}$
[/mm]
Wir wussten auch schon, dass alle übrigen Matrixelemente von A, also die, die nicht auf der Diagonalen liegen, beliebig gewählt werden können, solange die obige Bedingung erfüllt ist. Also wähle
[mm] $a_{12} [/mm] = [mm] \lambda_{1}, a_{13} [/mm] = [mm] \lambda_{2}, a_{21} [/mm] = [mm] \lambda_{3}, [/mm] ...$
Wir erhalten, das alle Matrizen der Form:
[mm] $\pmat{\mu_{1} & \lambda_{1} & \lambda_{2} \\ \lambda_{3} & \mu_{2} & \lambda_{4} \\ \lambda_{5} & \lambda_{6} & -\mu_{1}-\mu_{2}}$
[/mm]
im Kern der Abbildung enthalten sind, wobei die auftretenden Parameter beliebige Werte des Körpers annehmen können.
D.h. wir können den Kern der Abbildung schreiben als die Menge
[mm] $\left\{\pmat{\mu_{1} & \lambda_{1} & \lambda_{2} \\ \lambda_{3} & \mu_{2} & \lambda_{4} \\ \lambda_{5} & \lambda_{6} & -\mu_{1}-\mu_{2}}\mid \lambda_{1},...,\lambda_{6},\mu_{1},\mu_{2}\in\IR\right\}$
[/mm]
So, nun bilde daraus mit Hilfe vom "Aufteilen" (siehe mein vorheriger Post) eine Basis des Kerns!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Sa 28.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Kann ich als Lösung schon was aufschreiben??
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Hallo mausieux,
> Kann ich als Lösung schon was aufschreiben??
von was genau redest du? Guck' dir erstmal meine beiden Antworten an, dann wirst du etwas aufschreiben können 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 29.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Wäre nachstehende Aufteilung richtig?
[mm] \vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4} \\ \lambda_{5} \\ \lambda_{6}}=\lambda_{1}\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \lambda_{2}\pmat{0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \lambda_{3}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \lambda_{4}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \lambda_{5}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } \\ \lambda_{6}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } \\ \mu_{1}\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \mu_{2}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }\\ \mu_{3}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wobei [mm] \mu_{3}=-\mu_{1}-\mu{2} [/mm] ist
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Hallo mausieux,
> Wäre nachstehende Aufteilung richtig?
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> [mm]\vektor{\lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4} \\ \lambda_{5} \\ \lambda_{6}}=\lambda_{1}\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \lambda_{2}\pmat{0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \lambda_{3}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \lambda_{4}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \lambda_{5}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } \\ \lambda_{6}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 } \\ \mu_{1}\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } \\ \mu_{2}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }\\ \mu_{3}\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Wobei [mm]\mu_{3}=-\mu_{1}-\mu{2}[/mm] ist
das ist noch etwas seltsam (mit seltsam meine ich falsch...) aufgeschrieben, denn links steht ein Vektor, rechts Matrizen. Die recht Seite sieht aber schon ziemlich genau so aus, wie ich mir das gedacht hatte .
Aber: Du hast die Abhängigkeit von [mm] \mu_{1},\mu_{2},\mu_{3} [/mm] wieder in deine Lösung reingebracht. Das können wir doch aber in einer Basis gar nicht gebrauchen. Ich hatte nicht umsonst geschrieben, dass sich [mm] \mu_{3} [/mm] mit Hilfe von [mm] \mu_{1},\mu_{2} [/mm] audrücken lässt.
$ Kern(f) = [mm] \left\{\pmat{\mu_{1} & \lambda_{1} & \lambda_{2} \\ \lambda_{3} & \mu_{2} & \lambda_{4} \\ \lambda_{5} & \lambda_{6} & -\mu_{1}-\mu_{2}}\mid \lambda_{1},...,\lambda_{6},\mu_{1},\mu_{2}\in\IR\right\} [/mm] $
Nun mache ich für dich die Aufteilung:
$ Kern(f) = [mm] \left\{\lambda_{1}*\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} + \lambda_{2}*\pmat{0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} + \lambda_{3}*\pmat{0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} + \lambda_{4}*\pmat{0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0} + \lambda_{5}*\pmat{0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0} + \lambda_{6}*\pmat{0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} + \mu_{1}*\pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1} + \mu_{2}*\pmat{0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}\mid \lambda_{1},...,\lambda_{6},\mu_{1},\mu_{2}\in\IR\right\} [/mm] $
Guck' dir insbesondere die letzten beiden Summanden an, und verstehe.
So, und nun haben wir die Basis schon vor uns: Da die ganzen Parameter frei wählbar sind, und offenbar die obigen in der Summe stehenden Matrizen linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis des Kerns. Die Basis schreiben wir nun so auf:
[mm] $B=\left\{\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0},\pmat{0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0} ,\pmat{0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0},\pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1},\pmat{0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}\right\}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 So 29.11.2009 | | Autor: | mausieux |
Super, habe es auch verstanden. Die -1 bei den letzen beiden Teilen ist ja sehr wichtig, welche ich leider vergessen hatte. Sorry.
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Hallo mausieux,
du hattest die "-1" nicht vergessen - deine Darstellung war so gesehen korrekt, nur können wir die Abhängigkeit zwischen [mm] \mu_{1},\mu_{2},\mu_{3}, [/mm] die gelten muss, nämlich [mm] $\mu_{1} [/mm] + [mm] \mu_{2} +\mu_{3} [/mm] = 0$ nicht gebrauchen, wenn wir dann direkt aus der Darstellung des Kerns eine Basis ablesen wollen, deswegen haben wir ja statt [mm] \mu_{3} [/mm] den Term [mm] -\mu_{1}-\mu_{2} [/mm] eingesetzt.
Grüße,
Stefan
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