Konstruktion einer Möbiusabb < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Mi 30.12.2009 | | Autor: | meauw |
Hi. Ich möchte eine Möbiustrafo konstruieren, die T(0)=a und T(1)=1 und die Einheitskreisscheibe in sich abbildet.
Das hab ich auch gemacht:
[mm] T(z)=${\frac {a+z}{az+1}}$
[/mm]
Im wesentlich habe ich diese Trafo erhalten, indem ich mir die allgemeine Formel angesehen habe:
[mm] f(z)=${\frac {{{\rm e}^{it}} \left( z-z_{{0}} \right) }{1-{{\it conjugate} \left( z_{{0}} \right)}z}}$
[/mm]
Dabei hab ich dann angenommen, dass t=0 ist (also keine Rotation) und hab dann mal T(0)=a eingesetzt. Dann hab ich die vorzeichen noch so verändert, dass es hingekommen ist.
Das ist aber keine mathematisch saubere Herleitung.
Wenn ich versuch gleich in die allgemeine Formel T(0)=a und T(1)=1 erhalte ich ziemlich hässliches (oder zumindest nicht so schönes) Zeug.
Kann mir jemand sagen wie das i.A. geht??
gruss
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://mathoverflow.net/questions/10063/strange-conformal-mapping
Allerdings war das der falsche Ort um so eine "triviale" Frage zu stellen
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Dein Ergebnis stimmt nicht.
Zunächst sollte man festhalten, daß [mm]|a|<1[/mm] sein muß, wenn [mm]T[/mm] den Einheitskreis auf sich abbilden und [mm]T(0) = a[/mm] gelten soll. Jetzt erfüllt dein [mm]T[/mm] zwar [mm]T(0) = a[/mm] und [mm]T(1) = 1[/mm], es bildet aber nicht in jedem Fall den Einheitskreis auf sich ab. Für [mm]a = \frac{1}{2} \operatorname{i}[/mm] gilt zum Beispiel:
[mm]T \left( \frac{1}{2} \operatorname{i} \right) = \frac{\frac{1}{2} \operatorname{i} + \frac{1}{2} \operatorname{i}}{\frac{1}{2} \operatorname{i} \cdot \frac{1}{2} \operatorname{i} + 1} = \frac{4}{3} \operatorname{i}[/mm]
Und dieser Wert liegt nicht im Einheitskreis.
Die allgemeine Möbiustransformation, die den Einheitskreis auf sich abbildet, lautet (ich schreibe [mm]q[/mm] statt [mm]z_0[/mm])
[mm]w = T(z) = p \cdot \frac{z - q}{1 - \bar{q} z}[/mm]
mit komplexen Parametern [mm]p,q[/mm], für die [mm]|p| = 1[/mm] und [mm]|q| < 1[/mm] gilt.
Aus [mm]T(1) = 1[/mm] erhält man
[mm]p = \frac{1 - \bar{q}}{1 - q}[/mm]
Die Möbiustransformationen, die den Einheitskreis auf sich abbilden und 1 als Fixpunkt haben, sind also
[mm]w = T(z) = \frac{1 - \bar{q}}{1 - q} \cdot \frac{z - q}{1 - \bar{q} z}[/mm] mit [mm]|q| < 1[/mm]
Jetzt soll weiter [mm]T(0) = a[/mm] mit [mm]|a| < 1[/mm] gelten. Daraus erhält man die Gleichung
[mm]a = -q \cdot \frac{1 - \bar{q}}{1 - q}[/mm]
Diese kann man nach [mm]q[/mm] auflösen. Man erhält
[mm]q = - a \cdot \frac{1 - \bar{a}}{1 - a}[/mm]
Es gibt also nur eine Möbiustransformation, die dein Problem löst, nämlich
[mm]w = T(z) = \frac{(a-1)z + a(\bar{a}-1)}{\bar{a}(a-1)z + \bar{a}-1} \, , \ |a| < 1[/mm]
Für reelle [mm]a[/mm], also [mm]\bar{a} = a[/mm], geht die Lösung in die von dir angegebene Transformation über (kürze durch [mm]a-1[/mm]).
EDIT
Gerade wie ich das geschrieben habe, fällt mir auf, daß man das alles auch einfacher haben kann. Da die Möbiustransformation
[mm]w = T(z) = \frac{1 - \bar{q}}{1 - q} \cdot \frac{z - q}{1 - \bar{q} z}[/mm]
den Fixpunkt 1 hat und offensichtlich [mm]T(q) = 0[/mm] erfüllt, muß die Umkehrtransformation [mm]T^{-1}[/mm] auch 1 als Fixpunkt haben und [mm]T^{-1}(0) = q[/mm] erfüllen. Und abgesehen davon, daß [mm]a[/mm] jetzt [mm]q[/mm] heißt, löst das ja genau dein Problem.
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