Konstruktion eines W'raum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Konstruieren Sie einen W'raum und jeweils 2 {0,1}-wertige Zufallsvariablen X und Y mit:
X und Y besitzen die gleiche Verteilung und $P[X = Y] = [mm] \mu$, [/mm] für [mm] $\mu \in [/mm] (0,1)$, das vorgegeben ist. |
Bei dieser Aufgabe beiße ich auf Granit.
Ich hab versucht, das mit der Gleichverteilung auf [0,1], B([0,1]) und dem Lebesguemaß zu konstruieren, aber irgendwie klappt das nicht.
Hat jemand einen Tipp für mich?
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Hallo,
> Konstruieren Sie einen W'raum und jeweils 2 {0,1}-wertige
> Zufallsvariablen X und Y mit:
>
> X und Y besitzen die gleiche Verteilung und [mm]P[X = Y] = \mu[/mm],
> für [mm]\mu \in (0,1)[/mm], das vorgegeben ist.
EDIT:
Noch einfacher. Nimm direkt $ [mm] X,Y\sim [/mm] Bern(p) $ unabhängig, $ [mm] p\in(0,1). [/mm] $
Dann kann man $ [mm] \mu=P(X=Y)=p^2+(1-p)^2 [/mm] $ direkt nach p auflösen.
Das geht aber zunächst auch nur für den Fall [mm] \mu\ge\frac{1}{2}.
[/mm]
Für kleinere [mm] \mu [/mm] werde ich mir später mal Gedanken machen.
Alte Variante:
Seien [mm] $U,V\sim Bern(\theta)$ [/mm] und [mm] $Z\sim [/mm] Bern(p)$ unabhängige ZV mit [mm] p,\theta\in(0,1).
[/mm]
Betrachte X=UZ und Y=VZ (wir koppeln die Zufallsvariable Z an).
Es gilt dann
[mm] $P(X\neq Y)=P(Z=1\text{ und }U\neq V)=P(Z=1)P(U\neq V)=p(2\theta(1-\theta))$.
[/mm]
Wähle nun [mm] p,\theta [/mm] geeignet, sodass gilt
[mm] 1-\mu=p(2\theta(1-\theta)).
[/mm]
Das geht wenigstens für [mm] \mu\ge [/mm] 1/2. Für [mm] \mu< [/mm] 1/2 kann man sich ähnliches einfallen lassen.
LG
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
für den zweiten Fall $\mu < \bruch{1}{2}$ betrachte einfach folgende Zufallsvariablen:
$X,Y: [0,1) \to \{0,1\}$
$X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega \in \left[0,\bruch{\bruch{\mu + 1}{2}\right) \\ 1 & \text{sonst} \end{cases}$
$Y(\omega) = \begin{cases} 1 & \omega \in \left[\mu,\bruch{\mu + 1}{2} \right) \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$
Zeige nun, dass diese die von dir gewünschten Bedingungen erfüllen.
edit: Stelle gerade fest, das geht effektiv auch für $\mu \ge \bruch{1}{2}$, also für alle gewünschten
Deine Idee mit dem Lebesgue-Maß war schon nicht schlecht. Das ist auch die Idee hinter dem oben. Auf einem Intervall der gewünschten Länge stimmen die ZV überein und auf dem Rest unterscheiden sie sich. Aber eben gerade so, dass die Verteilungen trotzdem noch gleich sind.
MFG,
Gono.
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Ich bedanke mich bei euch beiden.
(Wie kommt man nur da drauf...)
LG Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Do 07.06.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> (Wie kommt man nur da drauf...)
einen Teil der Idee hattest du doch auch.
Den Rest der Idee hab ich dir doch auch dazu gepostet.
Schreibe dir auf, was du notwendigerweise für Bedingungen hast, der Rest folgte doch fast zwingend, wenn mans nur weiterdenkt.
Nämlich:
1.) Damit $P(X=Y) = [mm] \mu$ [/mm] gilt, sollen sie auf [mm] $[0,\mu)$ [/mm] erstmal gleich sein. Ob 0 oder 1 spielt dabei keine Rolle. Ich hab mich für 0 entschieden.
2.) Da sie auch nicht auf einem anderen Intervall gleich sein sollen, muss ja zwingend [mm] $X\not= [/mm] Y$ auf [mm] $[\mu,1)$ [/mm] gelten.
3.) Damit sie aber gleich verteilt sind, müssen beide auf gleichgroßen Teilintervallen von [mm] $[\mu,1)$ [/mm] jeweils 0 und 1 sein. Und was bietet sich da besseres an als das Intervall [mm] $[\mu,1)$ [/mm] einfach zu halbieren (weil ich ja 2 Werte hab, Null und Eins).
Die Mitte des Intervalls ist aber gerade [mm] $\mu [/mm] + [mm] \bruch{1-\mu}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\mu + 1}{2}$.
[/mm]
Also hab ich mein Intervall [0,1) bisher gedrittelt in:
$[0,1) = [mm] [0,\mu) \cup [\mu,\bruch{\mu + 1}{2}) \cup [\bruch{\mu + 1}{2},1)$
[/mm]
mit den Eigenschaften:
1.) liefert: Auf [mm] $[0,\mu)$ [/mm] sollen X und Y gleich sein.
2.) liefert: Auf [mm] $[\mu,\bruch{\mu + 1}{2})$ [/mm] und [mm] $[\bruch{\mu + 1}{2},1)$ [/mm] müssen X und Y verschieden sein.
3.) liefert: Den Wert, den X auf [mm] $[\mu,\bruch{\mu + 1}{2})$ [/mm] annimmt muss Y auf [mm] $[\bruch{\mu + 1}{2},1)$ [/mm] annehmen und umgekehrt.
Naja und wenn du das nun zusammenpappst kommst du eben obige Zufallsvariablen. Wobei es natürlich auch andere gibt, die das erfüllen. Nur warum unnötig kompliziert machen?
MFG,
Gono.
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