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Also wir haben den Konstruktionssatz für lineara Abbildungen definiert:
Seien V, W Vektorräume, M = { [mm] v_1,...,v_r [/mm] } Teilmenge von V, [mm] w_1,...,w_r \in [/mm] W. Dann gilt:
1) Ist M ein Erzeugendensystem von V, so gibt es höchstens eine lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W mit [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] w_i \forall [/mm] i=1...r
2) Wenn M eine Basis ist, so gibt es genau ein f: V [mm] \to [/mm] W linear mit [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] w_i \forall [/mm] i=1...r
Also ich verstehe die Beweise der Definition, aber ich verstehe nicht anschaulich, was die Aussagen bedeuten sollen.
Ich glaube der Satz scheint wichtig zu sein, weil er für weitere Beweise mehrmals benutzt wurde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Aussage zwei sagt dir: Eine lineare Abbildung ist eindeutig definiert, wenn man die Bilder der Basisvektoren festlegt.
Das ist natürlich eine sehr wichtige Aussage, wie du richtig festgestellt hast.
Wenn man feststellen will, ob zwei lineare Abbildungen gleich sind, so braucht man sie nur auf den Basisvektoren zu vergleichen.
Wenn man eine ganz bestimmte lineare Abbildung angeben will, so braucht man sie nur auf den Basisvektoren angeben (und nicht für -alle- Vektoren).
Im letzten Satz von mir ist auch noch extrem wichtig: -Egal- wie ich die Bilder der Basisvektoren festlege, es gibt -immer- eine lineare Abbildung dazu. Es ist also auch eine Existenzaussage, dass nämlich zu -jeder- Zuordnung "Basisvektoren [mm] \mapsto [/mm] (beliebige) Bildvektoren" es eine lineare Abbildung gibt, die diese Zuordnung erfüllt.
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Hallo,
danke für die Antwort.
Also sagen wir ich habe als Basisvektoren (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) und die Bilder davon wären f(1,0,0) = (4,8,6) , f(0,1,0) = (1,1,1) , f(0,0,1) = (1,2,3)
Also verstehe ich richtig, dass nun die Definition aussagt, dass man jetzt für diese Zuordnung eine lineare Abbildung finden kann(nur eine)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
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> danke für die Antwort.
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> Also sagen wir ich habe als Basisvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1)
> und die Bilder davon wären
> f(1,0,0) = (4,8,6), f(0,1,0) = (1,1,1) und f(0,0,1) = (1,2,3).
> Also verstehe ich richtig, dass nun [mm] \red{der \ Satz} [/mm] aussagt,
> dass man jetzt für diese Zuordnung eine lineare
> Abbildung finden kann (nur eine)?
Richtig.
Wenn man sich den Beweis anschaut, dann sieht man sogar, wie diese lineare Abbildung gefunden werden kann.
Es ist nämlich die Abbildung [mm]x \mapsto \pmat{ 4 & 1 & 1 \\ 8 & 1 & 2 \\ 6 & 1 & 3 }x[/mm].
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