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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage zur Kontraktion. In einer alten Klausur habe ich folgende Aufgabe gefunden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gefragt ist, in welchen der drei Intervalle [a,b] [c,d] [d,e] die Kontraktionsbedingung erfüllt ist. Wie diese formell aussieht, weiß ich, aber mir ist nicht klar, wie man das am Graphen "ablesen" kann, ohne die Funktion zu kennen. (Dazu fehlt mir wahrscheinlich die geometrische Bedeutung des Begriffes "Kontraktion").
Vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mo 06.03.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit CiscO!
> Ich habe eine Frage zur Kontraktion. In einer alten Klausur
> habe ich folgende Aufgabe gefunden:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Gefragt ist, in welchen der drei Intervalle [a,b] [c,d]
> [d,e] die Kontraktionsbedingung erfüllt ist. Wie diese
> formell aussieht, weiß ich, aber mir ist nicht klar, wie
> man das am Graphen "ablesen" kann, ohne die Funktion zu
> kennen. (Dazu fehlt mir wahrscheinlich die geometrische
> Bedeutung des Begriffes "Kontraktion").
Kontraktion heißt doch, daß der Abstand von [mm] f(x_{1}) [/mm] und [mm] f(x_{2}) [/mm] kleiner sein soll als der von [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}. [/mm] Aber auf der Geraden sind doch die y-Werte gleich den x-Werten, und auf der Kurve sind die y-Werte die f(x)-Werte. Jetzt nimm mal einen Bleistift und guck dir das im linken und im mittleren Intervall für je ein Bsp. an. Das Ergebnis hängt mit der Steigung von f(x) zusammen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Zunächst mal danke, so ganz klar ist mir das aber noch nicht. Wie genau ist der Abstand von [mm] f(x_{1}) zu f(x_{2}) [/mm] definiert? Als betragliche Länge der "Sekante" durch diese beiden Punkte? Dann wäre mir zumindest die Lösung klar, ich glaube aber nicht, das Lineale in der Klausur als Hilfsmittel gestattet sind ;)
Welche Norm liegt in dem von dir beschriebenen Fall der Kontraktion zu Grunde?
Verstehe ich dich richtig, so ist die Kontraktionsbedingung im Intervall [a,c] nicht erfüllt, denn der Abstand zw. f(a) und f(c) ist größer als der zwischen a und c. In einem weiteren Aufgabenteil wird gefragt, gegen welchen Fixpunkt die Fixpunktiteration konvergiert, wenn man sie bei c startet. Die Lösung ist "1", was ja auch eigentlich logisch sein sollte. Aber wenn auf dem Intervall [a,c] f nicht kontrahierend ist, wieso konvergiert die Fixpunktiteration dann überhaupt?
Wo ist mein Denkfehler?
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Hallo und guten Nachmittag,
zugrunde liegt wohl die Standard-Norm des [mm] \IR, [/mm] also der Absolutbetrag.
Damit ist f kontrahierend in einem Intervall [a,b] gdw fuer alle
[mm] a\leq x_1
[mm] |f(x_1)-f(x_2)| [/mm] < [mm] |x_2-x_1|
[/mm]
Da Dein f stetig differenzierbar ist/zu sein scheint, ist dies der Fall gdw
[mm] \forall x\in [a,b]\:\: [/mm] f'(x)<1
gilt, und dieses musst Du nun wohl oder uebel aus der Grafik ablesen.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Nun gut, jetzt ist aber bei [a,c] weder die Kontraktionsbedingung erfüllt noch f'(c) < 1.
Trotzdem konvergiert die Fixpunktiteration bei c gestartet gegen "1".
Wie kann das sein?
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Hallo,
also ich würde rein aus der Abbildung sagen, dass im ersten Intervall die Kontraktionsbedingung erfüllt ist. Denke dir doch mal die Tangenten an alle Punkte in den jeweiligen Intervallen.
In [a,b] ist der Winkel stets kleiner 45° würde ich sagen, also der tan stets kleiner 1.
Im Intervall [c,d] ist er auf jeden Fall größer, z.B. am Punkt 2.
Im Intervall [d,e] müsste der Winkel auch größer sein als 45°, zumindest gleich am Anfang des Intervalls.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 07.03.2006 | | Autor: | Cisc0 |
Hallo nochmal,
tut mir leid, wenn ich langsam genervt klinge, aber wo genau ist das eine Antwort auf meine Frage? Ich habe die Lösung ja, ich habe aber (unabhängig von der Aufgabenstellung) nachgefragt, wie es sein kann, dass die Fixpunktiteration bei c gestartet gegen "1" konvergiert, wenn die Funktion auf dem Intervall [a,c] offensichtlich nicht kontrahierend ist.
Kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Mi 08.03.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Hallo nochmal,
>
> tut mir leid, wenn ich langsam genervt klinge, aber wo
> genau ist das eine Antwort auf meine Frage? Ich habe die
> Lösung ja, ich habe aber (unabhängig von der
> Aufgabenstellung) nachgefragt, wie es sein kann, dass die
> Fixpunktiteration bei c gestartet gegen "1" konvergiert,
> wenn die Funktion auf dem Intervall [a,c] offensichtlich
> nicht kontrahierend ist.
>
> Kann mir da jemand helfen?
Ich habe mir die Ausgangssituation noch einmal zu Gemüte geführt. Die Antwort ist: Im Intervall [a,b] ist die Kontraktionsbedingung erfüllt.
Hinweis: Diese Antwort sagt aus logischen Gründen nichts über die Kontraktionsbedingung in den anderen Intervallen aus, und sie sagt erst recht nichts darüber aus, was passiert, wenn die Kontraktionsbedingung nicht erfüllt ist. Wir sind hier unter Mathematikern, die immer genau das meinen, was sie sagen.
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Hallo Cisc0,
Diese Kontraktionsbedingung muß nur in der Nähe von 1 erfüllt sein damit Konvergenz möglich ist. Dies ist bei (1) erfüllt.
Bei (2) ist dies offenbar nicht der Fall d.h. Du findest keinen Startwert so das das Ganze gegen 2 konvergiert.
viele Grüße
mathemaduenn
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