Kontraktion, Fixpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:04 Mo 15.06.2009 | | Autor: | WiebkeMarie |
| Aufgabe | Wir betrachten [mm] V=C([0,1];\IR) [/mm] mit der üblichen Norm. In V sei
[mm] U=\{f \in V | 1+\bruch{x}{2} \le f(x) \le 2 \}.
[/mm]
Zu f [mm] \in [/mm] U sei [mm] F(x)=\integral_{0}^{x}{f(s) ds}
[/mm]
Wir setzen [mm] (Tf)(x)=1+\bruch{F(x)}{F(1)}
[/mm]
1. Zeigen Sie: U ist abgeschlossen unt T bildet U in sich ab.
2. Zeigen Sie: T ist eine Kontraktion auf U.
3. Bestimmen Sie den Fixpunkt in U. |
Hallo!
Also zum 1. Teil habe ich mit überlegt:
Also alle Funktionen f [mm] \in [/mm] U müssen ja zwischen x-Werten 0 und 1 liegen und zwischen den Funktionen [mm] 1+\bruch{x}{2} [/mm] und 2 liegen.
jetzt wähle ich mir ein f so dass f [mm] \not\in [/mm] U ist, dann muss es ja mindestens ein [mm] x_0 [/mm] geben, so dass [mm] f(x_0)>2 [/mm] ist.
Nun betrachte ich den Abstand [mm] \delta [/mm] zwischen dieser Funktion f und 2.
[mm] \parallel f(x_0)-2 \parallel_\infty [/mm] = [mm] \delta
[/mm]
Nun gilt für alle g mit [mm] \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel_\infty [/mm] < [mm] \delta [/mm] und [mm] g(x_0) [/mm] > 2, somit gibt es zu f eine [mm] \delta [/mm] Umgebung welche vollständig im Komplement von U liegt. Damit ist das Komplement von U offen und U abgeschlossen.
Stimmt das soweit?
Aber wie zeige ich nun, dass T U in sich abbildet?
Zu 2. und 3. bin ich mir sehr unsicher, wie ich anfangen soll. Ich kenne micht mit Kontraktionen nicht so gut aus. Ich denke ich muss zeigen, dass T was ja nach Teil 1 eine Abbildung auf U ist der folgenden Gleichung gehorcht: [mm] d(T_x,T_y) \le \theta [/mm] d(x,y). Aber ich habe leider keine Ahnung wie ich das anfangen soll...
Ich wäre dankbar für jeden Tipp!!
Liebe Grüße Wiebke
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Nicht soviel überlegen, einfach rechnen ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") :
Z.z. [mm]1+\bruch{x}{2} \le 1+ \bruch{F(x)}{F(1)} \le 2[/mm]
Jetzt einsetzen und sehen was herauskommt...
Der rechte Teil ist fast trivial:
[mm]1+ \bruch{F(x)}{F(1)} \le 2 \gdw[/mm] [mm]\bruch{F(x)}{F(1)} \le 1 \gdw[/mm] [mm]F(x)\le F(1)[/mm]
Fertig wegen Monotonie des Integrals über eine positive Funktion.
Den linken Teil schaffst du selbst.
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Hallo!
Vielen Dank schon mal! Habs viel zu kompliziert versucht...
Aber die eine Richtung habe ich jetzt verstanden und für die andere habe ich die folgende Idee:
[mm] 1+\bruch{x}{2} \le [/mm] 1 [mm] +\bruch{F(x)}{F(1)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x}{2} \le \bruch{\integral_{0}^{x}{f(s) ds}}{\integral_{0}^{1}{f(s) ds}}
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{0}^{1}{f(s) ds} \cdot \bruch{x}{2} \le \integral_{0}^{x}{f(s) ds}
[/mm]
und jetzt habe ich in das linke Integral für f die gößtmögliche Funktion f=2 eingesetzt und in das rechte Integral für f die kleinstmögliche Funktion [mm] f=1+\bruch{s}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{1}{2 ds} \cdot \bruch{x}{2} \le \integral_{0}^{x}{1+\bruch{s}{2} ds}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \le x+\bruch{x^2}{4}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le \bruch{x^2}{4}
[/mm]
und da man für x Werte von 0 bis 1 einsetzt ist diese Aussage erfüllt.
Ist das so in Ordnung?
Liebe Grüße WiebkeMarie
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Ja, das sieht gut aus.
Für die Kontraktion musst du jetzt 2 beliebige Funktionen f, g aus U hernehmen und zeigen, dass
[mm]sup_{x \in \left[0, 1 \right]} \left|Tf(x) - Tg(x) \right| \le \lambda sup_{x \in \left[0, 1 \right]} \left| f(x) - g(x) \right|[/mm] wobei [mm]0 < \lambda < 1[/mm].
Ich würde auch hier erstmal sehen, wie weit man mit Einsetzen kommt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo!
Zu 2.:
zu Zeigen: [mm] d(T_f(x),T_g(x)) \le \theta\cdot [/mm] d(f,g) mit [mm] 0\le \theta<1 [/mm] und [mm] f,g\in [/mm] U
die normale Norm in V wäre die Maximumsnorm es würde demnach gelten:
[mm] \parallel T_f(x)-T_g(x) \parallel_\infty \le \theta \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel_\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel \bruch{F(x)}{F(1)} [/mm] - [mm] \bruch{G(x)}{G(1)}\parallel_\infty \le \theta \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel_\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \parallel \bruch{\integral_{0}^{x}{f(s) ds}}{\integral_{0}^{1}{f(s) ds}} [/mm] - [mm] \bruch{\integral_{0}^{x}{g(s) ds}}{\integral_{0}^{1}{g(s) ds}}\parallel_\infty \le \theta \parallel [/mm] f-g [mm] \parallel_\infty
[/mm]
Ab hier komme ich nicht weiter, mir fällt nichts ein wie man die Integrale zusammenziehen oder abschätzen könnte....
Zu 3.:
Ich habe mir klar gemacht, was ein Fixpunkt in diesem Fall ist:
Damit f [mm] \in [/mm] U ein Fixpunkt ist muss gelten:
[mm] T_f(x) [/mm] = f
[mm] \Rightarrow \bruch{F(x)}{F(1)}+1=f
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\integral_{0}^{x}{f(s) ds}}{\integral_{0}^{1}{f(s) ds}}+1=f
[/mm]
Dann habe ich einfach versucht durch ausprobieren eine Funktion f aus U zu finden die diese Forderungen erfüllt. Aber ich habe leider keine gefunden...
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie die Funktion aussehen könnte?
Vielen Dank schonmal!
Liebe Grüße Wiebke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mi 17.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du deine Fixpunktgleichung differenzierst kommst du auf die einfachst mir bekannte Dgl. fuer f
Gruss leduart
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Das hört sich gut an, allerdings habe ich Probleme damit diese Gleichung zu differenzieren.. Bin ziemlich ungeübt in diesem Bereich...
Dann müsste ich doch auf der linken Seite die Produktregel anwenden oder? Dann würde da stehen:
[mm] \bruch{f(s) \cdot \integral_0^1{f(s) ds} - \integral_0^x{f(s) ds} \cdot f(s) }{(\integral_0^1{f(s) ds})^2}
[/mm]
Und was mache mit der rechten Seite? die funktion f ist doch von x und nicht von s abhängig oder? das wäre dann doch f(x)-1 ableiten und das wäre f'(x) oder?
Stimmt das soweit? Wie rechne ich dann weiter?
Lg Wiebke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus $Tf=f$ folgt
[mm] $1+\bruch{F(x)}{F(1)} [/mm] = f(x)$
Differentiation liefert:
[mm] $\bruch{F'(x)}{F(1)} [/mm] = f'(x)$
Weiter ist $F'=f$
Hilft das ?
FRED
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Hallo Fred!
Ich bearbeite gerade die gleiche Aufgabe. Ich verstehe allerdings deinen letzten Schritt nicht. Wie kommst du auf
F'=f ?
Ist das dann schon die Lösung?
Liebe Grüße
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zu 3:
Die Funktion für die gilt: F'=f ist ja z.b. die e-Funktion
allerdings verstehe ich nicht warum du das F(1) einfach wegfallen lässt.
zu 2:
ich sitze auch an der aufgabe, allerdings weiß ich auch nicht wie ich weitermachen kann.
habe mal für f(s)=2 und g(s)=1+s/2 eingesetzt.
dann bekommt man auch eine konraktionszahl heraus, allerdings glaube ich nicht das ich das damit für alle funktionen gezeigt habe.
wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen kann
mfg
deltaherbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 17.06.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
wie kann man denn ein Integral nacu oben und unten abschaetzen?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mi 17.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
F ist doch Stammfkt von f
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Do 18.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
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> Ich bearbeite gerade die gleiche Aufgabe. Ich verstehe
> allerdings deinen letzten Schritt nicht. Wie kommst du auf
>
> F'=f ?
Das ist Analysis I Stoff !!!! f ist auf [0,1] stetig, dann ist $ [mm] F(x)=\integral_{0}^{x}{f(s) ds} [/mm] $ eine Stammfunktion von f
(Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung)
FRED
>
> Ist das dann schon die Lösung?
>
> Liebe Grüße
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den kommentar oben zu 3 von mir einfach mal übersehen ^^
dann müsste ja
f(x) = f'(x) * int(f(s),s,0,1) sein
aber irgendwie fällt mir keine funktion f ein für die das gilt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mi 17.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
f'=f/F(1) f(1) ist ne Konstante. und f(0)=1
welche fkt abgeleitet ergibt sich selbst?
gruss leduart
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danke für die antwort, aber am ziel bin ich leider immer noch nicht
die e-fkt ist abgeleitet ist wieder die e-fkt
allerdings gilt dann doch nicht
(f'(x)) = f(x)/F(1)
denn [mm] e^x [/mm] ist ja nicht gleich [mm] (e^x) [/mm] / [mm] (e^1)
[/mm]
ich seh meinen denkfehler bei der ganzen sache nicht
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mi 17.06.2009 | | Autor: | briddi |
> f'=f/F(1) f(1) ist ne Konstante. und f(0)=1
meinst du F(1) ist konstant? das könnte ich nachvollziehen,aber woher kommt f(0)=1?
> welche fkt abgeleitet ergibt sich selbst?
die e-funktion ergibt sich selbst.
ich hab das einfach mal eingesetzt in T,es müsste ja wieder die e-funktion rauskommen,wenn es ein fixpunkt ist. krieg ich aber irgendwie nicht hin:
[mm] T(e^{x})=1+\bruch{e^{x}-e^{0}}{e^{1}-e^{0}}= \bruch{e-2+e^{x}}{e-1}
[/mm]
und das soll [mm] e^{x} [/mm] sein? ich seh das nicht :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 17.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.setz x=0 in die Formel fuer den Fixpkt ein, dann steht da f(0)=1
2. [mm] e^x [/mm] abgeleitet ergibt nicht unbedingt [mm] e^x/F(1)also [/mm] zuchst du die Loesung von f'=a*f mit a=1/F(1)
Gruss leduart
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und kann ich diese lösung auch herausfinden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Do 18.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus Tf =f folgt:
(*) f(0) = (Tf)(0) = 1 +F(0)/F(1) = 1
Wie oben schon erwähnt, gilt für den Fixpunt f:
f' = f/c, wobei c = F(1)
Damit hat f die Gestalt: $f(x) = [mm] de^{x/c}$
[/mm]
Wegen f(0) =1, ist d=1, also $f(x) = [mm] e^{x/c}$
[/mm]
Weiter:
$c = [mm] \integral_{0}^{1}{e^{s/c} ds}= ce^{1/c}-c$
[/mm]
Dies liefert 1/c = log(2)
FAZIT: $f(x) = [mm] e^{log(2)x}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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