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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mi 15.08.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Es ist [mm] \{1,\wurzel[3]{5},(\wurzel[3]{5})^2\} [/mm] eine [mm] \IQ-Basis [/mm] von [mm] \IQ(\wurzel[3]{5}). [/mm] Geben Sie eine Darstellungsmatrix von [mm] \phi: \IQ(\wurzel[3]{5}) \to \IQ(\wurzel[3]{5}), x \mapsto \wurzel[3]{5}*x[/mm] an. |
Hallo habe das schon lang nicht mehr gemacht und ich glaube die Lösung ist falsch.
Es gilt:
[mm] \phi(1)= 0*1+1*\wurzel[3]{5}+0*(\wurzel[3]{5})^2 [/mm]
[mm] \phi(\wurzel[3]{5})= 0*1 + 0*\wurzel[3]{5}+1*(\wurzel[3]{5})^2 [/mm]
[mm] \phi((\wurzel[3]{5})^2)= 5*1+0*\wurzel[3]{5}+0*(\wurzel[3]{5})^2 [/mm]
So in der Lösung steht die Darstellungmatrix: [mm] \pmat{0 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm]
Meine Darstellungsmatrix ist aber: [mm] \pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 0}
[/mm]
Es muss doch gelten:
[mm] \phi(\vektor{1 \\ \wurzel[3]{5} \\ (\wurzel[3]{5})^2}) = \pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 0}*(\vektor{1 \\ \wurzel[3]{5} \\ (\wurzel[3]{5})^2}) = \vektor{(\vektor{\wurzel[3]{5} \\ (\wurzel[3]{5})^2 \\ 1} [/mm]
Meine Darstellungsmatrix erfüllt dies. Die Darstellungsmatrix der Lösung nicht. Habe ich da einen Denkfehler drin oder stimmt die Lösung nicht?
Vielen Dank fürs drüberschaun!
Grüße
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moin,
Du musst darauf achten, in welcher Basis du arbeitest.
Du bist nicht im [mm] $\IQ^3$, [/mm] also kannst du auch nicht so ohne weiteres deine Vektoren in der Standardbasis schreiben.
Du verwendest, dass dein [mm] $\IQ-$Vektorraum [/mm] isomorph ist zu [mm] $\IQ^3$.
[/mm]
Das heißt also etwa [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \hat{=} \sqrt[3]{5}$.
[/mm]
Wenn du deine Matrix aufstellen möchtest musst du immer bedenken, wofür die Vektoren, die du drannmultiplizierst in Wirklichkeit stehen.
Vielleicht solltest du dein Wissen über Basiswechsel oder Darstellungsmatrizen bezüglich verschiedener Basen nochmal auffrischen.
lg
Schadow
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:45 Mi 15.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
Danke für die Antwort. Das mit dem Auffrischen stimmt wohl...
Aber welche Darstellungsmatrix ist denn nun die richtige? Das wäre noch schön zu wissen.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mi 15.08.2012 | | Autor: | teo |
Sry, zu voreilig nachgefragt!
Frage braucht nicht mehr beantwortet zu werden. Vlt. kann das ja jmd. umstellen!
Vielen Dank!
Grüße
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