Konv. einer Funktionenreihe < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Do 14.06.2012 | | Autor: | ralpho |
| Aufgabe | Man zeige, dass die Funktionenreihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{sin(nx)}{n^2}$ [/mm] gleichmäßig auf R konvergiert.
Konvergiert auch die Reihe der Ableitungen der Summanden dieser Reihe auf ganz R zumindest punktweise? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Bei dieser Aufgabenstellung konnte ich den ersten Teil relativ leicht zeigen. Ich habe das Supremum [mm] 1/n^2 [/mm] bestimmt und da diese Reihe konvergiert, gefolgert, dass nach dem Weierstraßkritierum die Funktionenreihe konvergiert.
Beim zweiten Teil hab ich die Summanden nach x abgelitten, und komme so zu [mm] $\frac{cos(nx)}{n}$. [/mm] Hier stehe ich nun etwas an. Ich hab es mit dem Quotientenkriterium probiert, komme hier auf [mm] $\frac{cos((n+1)x)n}{(n+1)cos(nx)}$ [/mm] was ich mit [mm] $\frac{n}{n+1}$ [/mm] abgeschätzt habe. Dieser ausdruck geht aber doch gegen 1, bringt mir also fürs Quotientenkrieterium nichts oder?
Danke
Ralph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 14.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man zeige, dass die Funktionenreihe [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{sin(nx)}{n^2}[/mm]
> gleichmäßig auf R konvergiert.
> Konvergiert auch die Reihe der Ableitungen der Summanden
> dieser Reihe auf ganz R zumindest punktweise?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> Bei dieser Aufgabenstellung konnte ich den ersten Teil
> relativ leicht zeigen. Ich habe das Supremum [mm]1/n^2[/mm] bestimmt
> und da diese Reihe konvergiert, gefolgert, dass nach dem
> Weierstraßkritierum die Funktionenreihe konvergiert.
> Beim zweiten Teil hab ich die Summanden nach x abgelitten,
> und komme so zu [mm]\frac{cos(nx)}{n}[/mm]. Hier stehe ich nun etwas
> an. Ich hab es mit dem Quotientenkriterium probiert, komme
> hier auf [mm]\frac{cos((n+1)x)n}{(n+1)cos(nx)}[/mm] was ich mit
> [mm]\frac{n}{n+1}[/mm] abgeschätzt habe. Dieser ausdruck geht aber
> doch gegen 1, bringt mir also fürs Quotientenkrieterium
> nichts oder?
Tipp: Betrachte doch mal den Fall $x=0$ oder ganz allgemein [mm] $x=2k\pi$, $k\in \IZ$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Do 14.06.2012 | | Autor: | ralpho |
Klar. Das ist natürlich dann [mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] 1/n$ und diese Reihe is divergent...
Danke!
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