Konv.rad. komplex Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Fr 08.04.2022 | | Autor: | nkln |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Reihen:
$a) \summe_{n=0}^{\infty} (8^n n+3^n)z^n$ ,
$b) \summe_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n$ und $(c_n)$,für $n \in \IN_0$, eine komplexe Folge ist, die betragsmäßig beschränkt ist durch $ 2 \le |c_n|\le 4$ für alle $n \in \IN_0$
$c) \summe_{n=0}^{\infty} a_kz^k$ mit $a_k=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k\in 2\IN_0 \\ 2^k, & \mbox{für } k \in 1+2\IN_0 \end{cases}$ |
Hallo Zusammen,
ich würde gerne wissen, ob meine Lösungswege so richtig sind.
Lösungen:
ich möchte gerne den Konvergenzradien mit Satz von Cauchy-Hadamard bestimmen, also
$R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}$ mit $\frac{1}{0}=\infty$ und $\frac{1}{\infty}=0$
a) Die Folge $a_n$ ist ja hier $a_n=(8^n n + 3^n)$ mit Cauch.Hada folgt
$R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}$ $= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(8^n n + 3^n)|} $
da $n\ge 0$ ist ,ist $a_n \ge 1$ und der Betrag kann wegfallen. Das heißt
$R=\frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(8^n n + 3^n)}$.
Betrachtet man jetzt gesondert $\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(8^n n + 3^n)$,stellt man fest, dass dieser Ausdruck gegen unendlich läuft. Das heißt, dass die Situation $ \frac{1}{\infty}$ entsteht und der Konvergenzradius folglich $R=0$ ist.
b) Es gilt hier 2\le |c_n|\le 4. Durch Cauch.Hada folgt $R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}$ $= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|c_n|} $
Da der Betrag Betrag von |c_n| \ge 4 und man den Limes superior sucht erhält man:
$R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|c_n|} $$= \frac{1}{4} $
Folglich ist $R= \frac{1}{4}$
$c) \summe_{n=0}^{\infty} a_kz^k$ mit $a_k=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k\in 2\IN_0 \\ 2^k, & \mbox{für } k \in 1+2\IN_0 \end{cases}$
1.Fall $k$ ist gerade
Daraus folgt $a_k=1$
Das heißt $R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_k|}}$ $= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|1|}}$ $= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{1}}= 1$
2.Fall $k$ ist ungerade
Daraus folgt $a_k=2^k$
Mit Cauch.Hada $R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_k|}}$$= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|2^k|}}$
Betragsstriche können wegegelassen werden, da $a_k \ge 2$
$R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^k}}$$=\frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} 2} = \frac{1}{ 2}.$
Also $R= \frac{1}{2}$
Kann man das alles so machen?
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> Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Reihen:
>
> [mm]a) \summe_{n=0}^{\infty} (8^n n+3^n)z^n[/mm] ,
>
> [mm]b) \summe_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n[/mm] und [mm](c_n)[/mm],für [mm]n \in \IN_0[/mm],
> eine komplexe Folge ist, die betragsmäßig beschränkt ist
> durch [mm]2 \le |c_n|\le 4[/mm] für alle [mm]n \in \IN_0[/mm]
>
> [mm]c) \summe_{n=0}^{\infty} a_kz^k[/mm] mit [mm]a_k=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k\in 2\IN_0 \\ 2^k, & \mbox{für } k \in 1+2\IN_0 \end{cases}[/mm]
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> Hallo Zusammen,
>
> ich würde gerne wissen, ob meine Lösungswege so richtig
> sind.
>
> Lösungen:
> ich möchte gerne den Konvergenzradien mit Satz von
> Cauchy-Hadamard bestimmen, also
>
> [mm]R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
> mit [mm]\frac{1}{0}=\infty[/mm] und [mm]\frac{1}{\infty}=0[/mm]
>
> a) Die Folge [mm]a_n[/mm] ist ja hier [mm]a_n=(8^n n + 3^n)[/mm] mit
> Cauch.Hada folgt
>
> [mm]R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
> [mm]= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|(8^n n + 3^n)|}[/mm]
>
> da [mm]n\ge 0[/mm] ist ,ist [mm]a_n \ge 1[/mm] und der Betrag kann wegfallen.
> Das heißt
> [mm]R=\frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(8^n n + 3^n)}[/mm].
>
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> Betrachtet man jetzt gesondert [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(8^n n + 3^n)}[/mm],stellt
> man fest, dass dieser Ausdruck gegen unendlich läuft.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein.
Es ist [mm] \wurzel[n]{(8^n n + 3^n)} \le \wurzel[n]{(8^n n + 8^n n)} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2n}\wurzel[n]{8^n} [/mm] = [mm] 8*\wurzel[n]{2n}, [/mm] und [mm] \wurzel[n]{2n} [/mm] geht gegen 1 (s. Hinweis unten).
Somit ist R [mm] \ge [/mm] 1/8, den genauen Wert solltest du selber finden. Tipp: [mm] 3^n=8^n*(3/8)^n.
[/mm]
>
> b) Es gilt hier [mm]2\le |c_n|\le[/mm] 4. Durch Cauch.Hada folgt [mm]R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
> [mm]= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|c_n|}[/mm]
>
> Da der Betrag Betrag von [mm]|c_n| \ge[/mm] 4 und man den Limes
> superior sucht erhält man:
> [mm]R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|c_n|} [/mm][mm]= \frac{1}{4}[/mm]
Man weiß nur, dass [mm]2\le |c_n|\le[/mm] 4 gilt. Alle [mm] |c_n| [/mm] könnten 2 sein, alle [mm] |c_n| [/mm] könnten 4 sein. Die n-te Wurzel wird aber in jedem Fall 1 (s. Hinweis unten).
>
> Folglich ist [mm]R= \frac{1}{4}[/mm]
>
> [mm]c) \summe_{n=0}^{\infty} a_kz^k[/mm] mit [mm]a_k=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k\in 2\IN_0 \\ 2^k, & \mbox{für } k \in 1+2\IN_0 \end{cases}[/mm]
>
Vermutlich ist gemeint > [mm]c) \summe_{\red{k}=0}^{\infty} a_kz^k[/mm] mit [mm]a_k=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k\in 2\IN_0 \\ 2^k, & \mbox{für } k \in 1+2\IN_0 \end{cases}[/mm],
sonst gibt das keinen Sinn.
> 1.Fall [mm]k[/mm] ist gerade
>
> Daraus folgt [mm]a_k=1[/mm]
>
> Das heißt [mm]R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_k|}}[/mm]
> [mm]= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|1|}}[/mm]
> [mm]= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{1}}= 1[/mm]
>
> 2.Fall [mm]k[/mm] ist ungerade
> Daraus folgt [mm]a_k=2^k[/mm]
>
> Mit Cauch.Hada [mm]R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_k|}}[/mm][mm]= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|2^k|}}[/mm]
>
> Betragsstriche können wegegelassen werden, da [mm]a_k \ge 2[/mm] besser: da [mm] a_k \ge [/mm] 0
>
> [mm]R= \frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{2^k}}[/mm][mm]=\frac{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty} 2} = \frac{1}{ 2}.[/mm]
>
> Also [mm]R= \frac{1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Kann man das alles so machen?
>
Hinweis:
[mm] \wurzel[n]{a}= a^{1/n} [/mm] , für n nach [mm] \infty [/mm] geht das nach [mm] a^{0}=1.
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{n}= n^{1/n} [/mm] = [mm] (e^{ln(n)})^{1/n}=e^{ln(n)/n}, [/mm] für n nach [mm] \infty [/mm] geht ln(n)/n ebenfalls nach 0 und damit der Term nach 1.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 So 10.04.2022 | | Autor: | nkln |
Vielen Vielen Dank für deine Hilfe! :)
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