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Konverg. , Monoton. , Beschrä.: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Fr 29.10.2004
Autor: Tommylee

Hallo ,
ich habe zur Klausurvorbereitung unter anderem folgende Aufgabe:

Sind die folgenden Sätze wahr ? Begründen Sie Ihre Antwort

a) Jede konvergente Folge ist beschränkt

b) Jede beschränkte Folge ist monoton


zu a habe ich kein Problem:

Außerhalb jeder [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung nom Grenzwert g liegen höchstens
endlich viele Folgenglieder. Damit ist die Beschränkung bewiesen.
Ich denke so ist es richtig. wenn nicht 100%ig bitte Korrektur. Danke


zu b
Jede beschränkte Folge ist monoton. Dieser Satz ist natürlich falsch.
Ich kann  jetzt ein Beispiel geben für eben so eine Folge , die nicht monoton , aber beschränkt ist.
Zum Beispiel eine alternierende konvergente Folge :  [mm] -1^n [/mm] * 1/n
Meine Begründung ist ja jetzt , dass es auch alternierende Folgen gibt , die beschränkt sind . Ist das als Begründung in Ordnung.


Dankeschön
Gruß


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konverg. , Monoton. , Beschrä.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Fr 29.10.2004
Autor: Julius

Hallo Tommylee!

> Sind die folgenden Sätze wahr ? Begründen Sie Ihre
> Antwort
>  
> a) Jede konvergente Folge ist beschränkt
>  
> b) Jede beschränkte Folge ist monoton
>  
>
> zu a habe ich kein Problem:
>  
> Außerhalb jeder [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung nom Grenzwert g liegen
> höchstens
>  endlich viele Folgenglieder. Damit ist die Beschränkung
> bewiesen.
>  Ich denke so ist es richtig. wenn nicht 100%ig bitte
> Korrektur. Danke

Absolut richtig! [daumenhoch]

Hast du jetzt noch eine Idee, wie man das formal aufschreiben könnte?

> zu b
> Jede beschränkte Folge ist monoton. Dieser Satz ist
> natürlich falsch.

[ok]

>  Ich kann  jetzt ein Beispiel geben für eben so eine Folge
> , die nicht monoton , aber beschränkt ist.
>  Zum Beispiel eine alternierende konvergente Folge :  [mm]-1^n[/mm]
> * 1/n

Du meinst: [mm] $a_n [/mm] = [mm] (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$. [/mm]

Warum wählst du nicht einfacher [mm] $b_n=(-1)^n$? [/mm] ;-)

>  Meine Begründung ist ja jetzt , dass es auch alternierende
> Folgen gibt , die beschränkt sind . Ist das als Begründung
> in Ordnung.

Es genügt ein Gegenbeispiel anzugeben. :-)

Liebe Grüße
Julius

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