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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 29.11.2004 | | Autor: | DeusRa |
Hallo.
1. ) Seien (an und (bn) für fast alle n [mm] \in \IN, [/mm] so ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bn.
2.) Gilt diese Aussage auch, wenn [mm] \le [/mm] jeweils durch < ersetzt wird ??
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Ich habe keinen Plan wie man das machen soll, weil ich das noch nicht so checke.
Kann mir da jemand helfen..........ich hätte auch gern die Lösung dazu, da mir ein Ansatz vermutlich nix bringen wird.
Danke schön.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich nehme mal an die Aufgabenstellung muss so lauten:
Es seien [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] zwei Folgen reeller Zahlen mir [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann gilt auch:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} a_n \le \lim\limits_{n \to \infty}b_n$.
[/mm]
Was hier fehlt, sind eigene Ansätze und Ideen von dir. Normalerweise würdest du jetzt überhaupt keine Antwort bekommen, aber ich will dir wenigstens den Ansatz nennen:
Man setzt so an:
Angenommen, es wäre:
(1) [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}a_n [/mm] - [mm] \lim\limits_{n \to \infty} b_n [/mm] =: [mm] \varepsilon [/mm] > 0$.
Dann gäbe es nach Voraussetzung ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] und ein [mm] $n_1 \in \IN$ [/mm] mit
(2) [mm] $|a_n [/mm] - [mm] \lim\limits_{n \to \infty} a_n| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_0$, [/mm] und
(3) [mm] $|b_n [/mm] - [mm] \lim\limits_{n \to \infty} b_n| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_1$.
[/mm]
Versuche nun herzuleiten, dass dann
[mm] $a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] > 0$
für alle $n [mm] \ge \max\{n_0,n_1\}$ [/mm] gilt, und somit einen Widerspruch zu [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] aufzudecken.
Melde dich bitte wieder mit eigenen weiteren Schritten, dann geht es weiter (vermutlich nicht mit mir, aber vielleichtnmit jemand anderem).
Viele Grüße
Stefan
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