Konvergente Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 So 13.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | [mm] a_{n} [/mm] = ( 1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm]
[mm] c_{n} [/mm] = (1 - [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (c_{n} [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{e} [/mm] konvergiert, indem Sie die Folge [mm] (a_{n}c_{n}) [/mm] untersuchen. |
Hey,
meine Ansätze:
Wenn man die Folgen erstmal multipliziert erhält man ( 1 - [mm] \bruch{1}{n^2})^n [/mm]
Wenn ich das nun in die Voraussetzung für Konvergenz einsetze erhalte ich ja:
| ( 1 - [mm] \bruch{1}{n^2})^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{e} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wie kann ich nun am besten nach n umstellen?
Danke schonmal für jede konstruktive Antwort
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallöle,
> Hey,
>
> meine Ansätze:
>
> Wenn man die Folgen erstmal multipliziert erhält man ( 1 -
> [mm]\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
>
> Wenn ich das nun in die Voraussetzung für Konvergenz
> einsetze erhalte ich ja:
>
> | ( 1 - [mm]\bruch{1}{n^2})^n[/mm] - [mm]\bruch{1}{e}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
Ich vermute einmal, du darfst verwenden, dass $ [mm] (1+\bruch{1}{n})^n \to [/mm] e $ für [mm] n\to\infty.
[/mm]
[mm] (1-\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
Das ist zwar korrekt multipliziert, aber der Grenzwert dieser Folge müsste wohl 1 sein, denn schließlich ist ja [mm] \bruch{e}{e}=1, [/mm] also:
[mm] |(1-\bruch{1}{n^2})^n-1|<\varepsilon
[/mm]
> Wie kann ich nun am besten nach n umstellen?
>
> Danke schonmal für jede konstruktive Antwort
>
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Aber in der Aufgabenstellung steht ja schon, dass die Folge gegen [mm] \bruch{1}{e} [/mm] konvergiert, wie kommst du auf die 1?
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[mm] a_n [/mm] konvergiert gegen e
[mm] c_n [/mm] konvergiert gegen 1/e
=> [mm] b_n=a_n*c_n=e*1/e=1
[/mm]
Wenn [mm] b_n [/mm] nun nicht gegen 1 konvergiert, dann konvergiert [mm] c_n [/mm] auch nicht gegen 1/e. Wäre dann also ein Widerspruch und die Annahme, dass [mm] c_n [/mm] gegen 1/e konvergiert wäre falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:09 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ah okay, jetzt kann ich dir folgen, aber wenn ich jetzt in meiner Hauptaussage 1 anstelle von [mm] \bruch{1}{e} [/mm] einsetze, wüsste ich trotzdem nicht, wie ich nach n umstelle, hat da noch jemand n Tipp für mich?
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Antwort, dank den Hinweis von Loddar, falsch. Durch die Beträge habe ich mich vertan!
Du hast ja:
[mm] |(1-\bruch{1}{n^2})^n-1|=|\bruch{(n^2-1)^n}{n^{2n}}-1|<|\bruch{(n^2)^n}{n^{2n}}-1|=|\bruch{n^{2n}}{n^{2n}}-1|=0<\epsilon
[/mm]
Damit hättest du gezeigt, dass es konvergiert.
Wenn du zwingend ein [mm] n_0 [/mm] willst, dann kann man das auch in ähnlicher Weise abschätzen und ein [mm] n_0 [/mm] finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Richie!
Da muss irgendwo ein Fehler drinstecken (ich sehe ihn nur gerade ohne morgendlichen ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]") nicht).
Denn Deine (Un-)Gleichheitskette beinhaltet:
[mm]| \ ... \ | \ < \ 0[/mm]
Und das erkenne ich selbst ohne Koffein als falsch.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Der Fehler lag an meiner Nichbeachtung der Beträge.
Du hast natürlich Recht.
Auch ich sollte ohne morgendlichen Koffeinschub nicht mein Geist anstrengen. Dies ist mir eine Lehre.
Danke für den Hinweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Mh, also ich bin grad etwas überfordert ...
Darf ich also nicht die 1 abschätzen? Wie geht man dann an die Aufgabe ran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mh, also ich bin grad etwas überfordert ...
>
> Darf ich also nicht die 1 abschätzen? Wie geht man dann an
> die Aufgabe ran?
Du hast die Folge [mm] $c_n= [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] $ . Von der sollst Du zeigen, dass sie gegn 1/e konv.
Benutzen sollst Du dass [mm] $a_n= [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] $ gegen e konvergiert.
Das sollst Du so machen, indem Du $ [mm] (a_{n}c_{n}) [/mm] $ untersuchst.
Es ist [mm] $a_n*c_n= [/mm] (1 - [mm] \bruch{1}{n^2})^n [/mm] $
Wenn Du zeigen kannst, dass [mm] (a_nc_n) [/mm] gegen 1 konvergiert, bist Du fertig.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Genau, so weit war ich auch, mein Problem ist, dass ich es nicht schaffe, nach n umzustellen, logarithmieren funktioniert nicht ... bernoullische ungleichung kann ich hier auch nciht verwenden ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Genau, so weit war ich auch, mein Problem ist, dass ich es
> nicht schaffe, nach n umzustellen, logarithmieren
> funktioniert nicht ... bernoullische ungleichung kann ich
> hier auch nciht verwenden ...
Aber natürlich kannst Du das:
[mm] (1-\bruch{1}{n^2} )^n \ge 1-\bruch{n}{n^2}= 1-\bruch{1}{n}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Setz ich das umgeformte dann wieder ein und rechne jetzt so weiter:
| 1 - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - 1 | < [mm] \varepsilon
[/mm]
| - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] < n
???
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Hallo Anazeug,
> Setz ich das umgeformte dann wieder ein und rechne jetzt so
> weiter:
Das brauchst du doch nicht mehr, es ist doch klar nach den GW-Sätzen, dass [mm]1-1/n[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]1-0=1[/mm] konvergiert ...
>
> | 1 - [mm]\bruch{1}{n}[/mm] - 1 | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> | - [mm]\bruch{1}{n}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] < n
Was ist e? Sicher meinst du [mm]\varepsilon[/mm] - damit hast du ein [mm]n_0[/mm] gefunden, so dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt [mm]\left|1-1/n-1\right|<\varepsilon[/mm]
Aber wie gesagt, das brauchtest du nicht.
Du hast nun mit [mm]\left(1-1/n\right)_{n\in\IN}[/mm] eine untere Schranke(nfolge), die gegen 1 konvergiert, für die betrachtete Folge [mm]\left(1-1/n^2\right)^n_{n\in\IN}[/mm] gefunden.
Finde noch eine (triviale) obere Schranke(nfolge), die ebenfalls gegen 1 konvergiert, dann hast du deine Ausgangsfolge [mm]\left(1-1/n^2\right)^n_{n\in\IN}[/mm] zwischen 2 Folgen, die beide gegen 1 konvergieren, eingeschlossen, dann folgt die Aussage mit dem Einschließungslemma
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ja, sorry meinte natürlich im letzten Schritt: [mm] \bruch{1}{\varepsilon}. [/mm] < n
Das mit dem Einschließungslemma ist logisch, aber was wäre denn hier eine trivale obere Schranke?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, sorry meinte natürlich im letzten Schritt:
> [mm]\bruch{1}{\varepsilon}.[/mm] < n
>
> Das mit dem Einschließungslemma ist logisch, aber was
> wäre denn hier eine trivale obere Schranke?
1
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Müsste ich das wieder beweisen, oder reicht die 1 zu nennen?
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Hallo,
> Müsste ich das wieder beweisen, oder reicht die 1 zu
> nennen?
Das ist beinahe so offensichtlich eine obere Schranke, dass man das einfach hinschreiben kann, aber da du (ihr) scheinbar noch am Anfang dieser ganzen Konvergenzgeschichte seid, solltest du das zumindest mit kurzen Worten begründen.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar, danke für alles. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Eine Frage hätte ich noch: Wenn ich beweise, dass 1 eine scharfe Oberschranke ist, in dem Fall sogar das supremum, was wäre denn eine Unterschranke, ideallerweise das infimum von (1- [mm] \bruch{1}{n^2})^n [/mm] ?
Könnte man die Bernoulli Ungleichung also (1 - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] als Unterschranke annehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mo 14.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Eine Frage hätte ich noch: Wenn ich beweise, dass 1 eine
> scharfe Oberschranke ist, in dem Fall sogar das supremum,
> was wäre denn eine Unterschranke, ideallerweise das
> infimum von (1- [mm]\bruch{1}{n^2})^n[/mm] ?
Ja, das wäre eine untere Schranke, aber sie bringt Dir nichts, denn das Infimum der Folge ((1- [mm]\bruch{1}{n^2})^n[/mm] ) = 0.
>
> Könnte man die Bernoulli Ungleichung also (1 -
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm] als Unterschranke annehmen?
Nein, das hängt doch noch von n ab !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Mh, ich will jetzt mit dem Einschließungslemma argumentieren.
Das 1 eine Oberschranke ist habe ich schon gezeigt, nun brauche ich eine Unterschranke von (1- [mm] \bruch{1}{n^2})^n [/mm] , die ebenfalls gegen 1 konvergiert, wenn ich diese habe, habe ich die Aufgabe gelöst, brauch das zu morgen früh, hat da jemand ne Info für mich? Wäre euch sehr dankbar, bisher nehme ich ja an, dass die Bernoulli Ungleichung (1 - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] die Unterschranke ist, doch Fred meinte das das nicht geht, wieso - habe ich nicht ganz verstanden ... aber ich glaub dir einfach ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Di 15.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mh, ich will jetzt mit dem Einschließungslemma
> argumentieren.
>
> Das 1 eine Oberschranke ist habe ich schon gezeigt, nun
> brauche ich eine Unterschranke von (1- [mm]\bruch{1}{n^2})^n[/mm] ,
> die ebenfalls gegen 1 konvergiert, wenn ich diese habe,
> habe ich die Aufgabe gelöst, brauch das zu morgen früh,
> hat da jemand ne Info für mich? Wäre euch sehr dankbar,
> bisher nehme ich ja an, dass die Bernoulli Ungleichung (1 -
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm] die Unterschranke ist, doch Fred meinte das
> das nicht geht,
Das habe ich nicht gesagt ! Lies meine obige Antwort nochmal !
Selbstverständlich ist
1-1/n [mm] \le (1-1/n^2)^n \le [/mm] 1 für alle n.
FRED
> wieso - habe ich nicht ganz verstanden ...
> aber ich glaub dir einfach ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Di 15.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mir war es gerade zu mühselig, den ganzen Thread zu verfolgen:
> [mm]a_{n}[/mm] = ( 1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm]
> [mm]c_{n}[/mm] = (1 - [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm](c_{n}[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{e}[/mm] konvergiert,
> indem Sie die Folge [mm](a_{n}c_{n})[/mm] untersuchen.
>
> Hey,
>
> meine Ansätze:
>
> Wenn man die Folgen erstmal multipliziert erhält man ( 1 -
> [mm]\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
richtig:
Und [mm] $(1\;\;-\;1/n^2)^n \le [/mm] 1$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist klar, und weiter gilt
[mm] $$(1\;\;-\;1/n^2)^n \ge 1-n/n^2=1\;-\;1/n$$
[/mm]
nach Bernoulli für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Insgesamt folgt dann in trivialer Weise die Behauptung! (Das kann man auch problemlos mit [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $N_\epsilon$ [/mm] aufschreiben!)
Gruß,
Marel
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